Страница 8 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

17. Вертолёт, пролетев в горизонтальном полёте по прямой 40 км, повернул под углом 90° и пролетел ещё 30 км. Найти путь и перемещение вертолёта.

Дано:

Расстояние первого участка $S_1 = 40 \text{ км}$
Расстояние второго участка $S_2 = 30 \text{ км}$
Угол поворота $\alpha = 90^\circ$

Перевод всех данных в систему СИ:

Найти:

Путь $L$
Модуль перемещения $|\vec{S}|$

Решение:

Путь

Путь (обозначается как $L$) – это скалярная величина, равная длине траектории, пройденной телом. Чтобы найти общий путь, необходимо сложить длины двух участков, которые пролетел вертолёт.

$L = S_1 + S_2$

Подставляем значения:

$L = 40 \text{ км} + 30 \text{ км} = 70 \text{ км}$

В системе СИ:

$L = 40000 \text{ м} + 30000 \text{ м} = 70000 \text{ м}$

Ответ: пройденный вертолётом путь равен 70 км.

Перемещение

Перемещение (обозначается как $\vec{S}$) – это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Модуль перемещения – это длина этого вектора.

Поскольку вертолёт летел по прямой, а затем повернул на $90^\circ$, два участка его пути являются взаимно перпендикулярными. Эти два отрезка пути ($S_1$ и $S_2$) можно рассматривать как катеты прямоугольного треугольника. Модуль итогового перемещения $|\vec{S}|$ будет равен длине гипотенузы этого треугольника.

Для нахождения модуля перемещения воспользуемся теоремой Пифагора:

$|\vec{S}| = \sqrt{S_1^2 + S_2^2}$

Подставим значения:

$|\vec{S}| = \sqrt{(40 \text{ км})^2 + (30 \text{ км})^2} = \sqrt{1600 \text{ км}^2 + 900 \text{ км}^2} = \sqrt{2500 \text{ км}^2} = 50 \text{ км}$

В системе СИ:

$|\vec{S}| = \sqrt{(40000 \text{ м})^2 + (30000 \text{ м})^2} = \sqrt{16 \cdot 10^8 \text{ м}^2 + 9 \cdot 10^8 \text{ м}^2} = \sqrt{25 \cdot 10^8 \text{ м}^2} = 5 \cdot 10^4 \text{ м} = 50000 \text{ м}$

Ответ: модуль перемещения вертолёта равен 50 км.

18. Катер прошёл по озеру в направлении на северо-восток 2 км, а затем в северном направлении ещё 1 км. Найти геометрическим построением модуль и направление перемещения.

Дано:

Найти:

Решение:

Полное перемещение катера $\vec{s}$ является векторной суммой двух последовательных перемещений: $\vec{s_1}$ (на северо-восток) и $\vec{s_2}$ (на север).
$\vec{s} = \vec{s_1} + \vec{s_2}$

Для решения задачи геометрическим методом введем прямоугольную систему координат. Направим ось OY на север, а ось OX — на восток. Начало отсчета (точка O) будет в точке старта катера.

1. Геометрическое построение. Первый вектор перемещения $\vec{s_1}$ имеет модуль $s_1 = 2$ км и направлен на северо-восток, то есть под углом $45^\circ$ к осям OX и OY. Второй вектор $\vec{s_2}$ с модулем $s_2 = 1$ км направлен на север, то есть параллельно оси OY. По правилу сложения векторов, мы откладываем вектор $\vec{s_2}$ из конца вектора $\vec{s_1}$. Результирующий вектор $\vec{s}$ соединяет начало первого вектора с концом второго.

2. Расчет с помощью компонент векторов. Найдем проекции векторов $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ на оси координат.

Для вектора $\vec{s_1}$:
$s_{1x} = s_1 \cdot \cos(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ км
$s_{1y} = s_1 \cdot \sin(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ км

Для вектора $\vec{s_2}$:
$s_{2x} = 0$ км
$s_{2y} = 1$ км

Компоненты результирующего вектора $\vec{s}$ равны сумме соответствующих компонент:
$s_x = s_{1x} + s_{2x} = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}$ км
$s_y = s_{1y} + s_{2y} = \sqrt{2} + 1$ км

3. Нахождение модуля перемещения. Модуль вектора $\vec{s}$ найдем по теореме Пифагора:
$s = \sqrt{s_x^2 + s_y^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (1 + \sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 1 + 2\sqrt{2} + 2} = \sqrt{5 + 2\sqrt{2}}$ км
Вычислим приближенное значение:
$s \approx \sqrt{5 + 2 \cdot 1.414} = \sqrt{5 + 2.828} = \sqrt{7.828} \approx 2.798$ км

4. Нахождение направления перемещения. Направление вектора $\vec{s}$ определим как угол $\beta$ между вектором $\vec{s}$ и северным направлением (осью OY).
$\tan(\beta) = \frac{s_x}{s_y} = \frac{\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$
Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на $(1 - \sqrt{2})$:
$\tan(\beta) = \frac{\sqrt{2}(1 - \sqrt{2})}{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2} - 2}{1 - 2} = 2 - \sqrt{2}$
Вычислим приближенное значение:
$\tan(\beta) \approx 2 - 1.414 = 0.586$
$\beta = \arctan(0.586) \approx 30.4^\circ$
Это означает, что направление перемещения составляет примерно $30.4^\circ$ к востоку от северного направления.

Ответ: модуль перемещения катера составляет $s = \sqrt{5 + 2\sqrt{2}} \approx 2.8$ км, направление — под углом примерно $30.4^\circ$ к востоку от северного направления.

19. Туристы прошли сначала 400 м на северо-запад, затем 500 м на восток и ещё 300 м на север. Найти геометрическим построением модуль и направление их перемещения.

Дано:

Найти:

Решение:

Полное перемещение туристов представляет собой векторную сумму трёх последовательных перемещений: $\vec{S} = \vec{s_1} + \vec{s_2} + \vec{s_3}$. Для нахождения результирующего вектора $\vec{S}$ воспользуемся геометрическим построением (методом многоугольника) и для точности проверим результат аналитическим методом.

1. Геометрическое построение

1. Выберем систему координат. Направим ось $Ox$ на восток, а ось $Oy$ — на север. Начало отсчёта $O(0,0)$ — это точка старта туристов.

2. Выберем масштаб. Например, пусть 100 м на местности соответствует 1 см на чертеже.

3. Построим векторы перемещений последовательно, откладывая каждый следующий вектор от конца предыдущего.

• Из точки $O(0,0)$ отложим вектор $\vec{s_1}$, соответствующий перемещению 400 м на северо-запад. Длина этого вектора в нашем масштабе будет 4 см. Направление "северо-запад" означает, что вектор составляет угол $135^\circ$ с положительным направлением оси $Ox$ (восток). Конец этого вектора обозначим точкой $A$.
• Из точки $A$ отложим вектор $\vec{s_2}$, соответствующий перемещению 500 м на восток. Длина вектора будет 5 см, и он будет направлен параллельно оси $Ox$. Конец этого вектора обозначим точкой $B$.
• Из точки $B$ отложим вектор $\vec{s_3}$, соответствующий перемещению 300 м на север. Длина вектора будет 3 см, и он будет направлен параллельно оси $Oy$. Конец этого вектора обозначим точкой $C$.

4. Результирующий вектор перемещения $\vec{S}$ соединяет начальную точку первого вектора ($O$) с конечной точкой последнего вектора ($C$). То есть, $\vec{S} = \vec{OC}$.

5. Измерим длину отрезка $OC$ линейкой и, используя масштаб, найдём модуль перемещения $S$. Затем с помощью транспортира измерим угол $\alpha$ между вектором $\vec{OC}$ и положительным направлением оси $Ox$ (восток).

2. Аналитический расчёт (для точности)

Найдём проекции каждого вектора на оси $Ox$ (восток) и $Oy$ (север).

• Вектор $\vec{s_1}$ (400 м на северо-запад, угол $135^\circ$ с осью $Ox$):
  $s_{1x} = s_1 \cos(135^\circ) = 400 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -200\sqrt{2} \text{ м}$
  $s_{1y} = s_1 \sin(135^\circ) = 400 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 200\sqrt{2} \text{ м}$
• Вектор $\vec{s_2}$ (500 м на восток, угол $0^\circ$ с осью $Ox$):
  $s_{2x} = s_2 \cos(0^\circ) = 500 \cdot 1 = 500 \text{ м}$
  $s_{2y} = s_2 \sin(0^\circ) = 500 \cdot 0 = 0 \text{ м}$
• Вектор $\vec{s_3}$ (300 м на север, угол $90^\circ$ с осью $Ox$):
  $s_{3x} = s_3 \cos(90^\circ) = 300 \cdot 0 = 0 \text{ м}$
  $s_{3y} = s_3 \sin(90^\circ) = 300 \cdot 1 = 300 \text{ м}$

Сложим проекции, чтобы найти проекции результирующего вектора $\vec{S}$:

$S_x = s_{1x} + s_{2x} + s_{3x} = -200\sqrt{2} + 500 + 0 = (500 - 200\sqrt{2}) \text{ м}$
$S_y = s_{1y} + s_{2y} + s_{3y} = 200\sqrt{2} + 0 + 300 = (300 + 200\sqrt{2}) \text{ м}$

Вычислим приближённые значения проекций, используя $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$S_x \approx 500 - 200 \cdot 1.414 = 500 - 282.8 = 217.2 \text{ м}$
$S_y \approx 300 + 200 \cdot 1.414 = 300 + 282.8 = 582.8 \text{ м}$

Теперь найдём модуль (длину) результирующего вектора $\vec{S}$ по теореме Пифагора:

$S = |\vec{S}| = \sqrt{S_x^2 + S_y^2} = \sqrt{(500 - 200\sqrt{2})^2 + (300 + 200\sqrt{2})^2}$
$S \approx \sqrt{(217.2)^2 + (582.8)^2} \approx \sqrt{47175.84 + 339655.84} = \sqrt{386831.68} \approx 622 \text{ м}$

Найдём направление вектора $\vec{S}$. Так как обе проекции $S_x$ и $S_y$ положительны, вектор направлен на северо-восток. Угол $\alpha$, который вектор составляет с направлением на восток (осью $Ox$), можно найти через тангенс:

$\tan(\alpha) = \frac{S_y}{S_x} = \frac{300 + 200\sqrt{2}}{500 - 200\sqrt{2}} \approx \frac{582.8}{217.2} \approx 2.683$

$\alpha = \arctan(2.683) \approx 69.6^\circ$

Таким образом, перемещение произошло в северо-восточном направлении под углом примерно $69.6^\circ$ к востоку.

Ответ: Модуль перемещения туристов составляет примерно $622 \text{ м}$, направление — северо-восток, под углом $69.6^\circ$ к направлению на восток.

20. По прямолинейной автостраде (рис. 8) движутся равномерно: автобус — вправо со скоростью $20 \text{ м/с}$, легковой автомобиль — влево со скоростью $15 \text{ м/с}$ и мотоциклист — влево со скоростью $10 \text{ м/с}$. Координаты этих экипажей в момент начала наблюдения равны соответственно $500 \text{ м}$, $200 \text{ м}$ и $-300 \text{ м}$. Написать их уравнения движения. Найти: а) координату автобуса через 5 с; б) координату легкового автомобиля и пройденный путь через 10 с; в) через какое время координата мотоциклиста будет равна $-600 \text{ м}$; г) в какой момент времени автобус проезжал мимо дерева; д) где был легковой автомобиль за 20 с до начала наблюдения

Рис. 8

Дано:

Скорость автобуса (вправо) $v_а = 20$ м/с
Начальная координата автобуса $x_{0а} = 500$ м
Скорость легкового автомобиля (влево) $v_л = 15$ м/с
Начальная координата легкового автомобиля $x_{0л} = 200$ м
Скорость мотоциклиста (влево) $v_м = 10$ м/с
Начальная координата мотоциклиста $x_{0м} = -300$ м
Координата дерева $x_д = 0$ м
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Уравнения движения $x_а(t)$, $x_л(t)$, $x_м(t)$
а) $x_а(t_1)$ при $t_1 = 5$ с
б) $x_л(t_2)$ и $S_л(t_2)$ при $t_2 = 10$ с
в) $t_3$ при $x_м(t_3) = -600$ м
г) $t_4$ при $x_а(t_4) = x_д$
д) $x_л(t_5)$ при $t_5 = -20$ с

Решение:

Общий вид уравнения равномерного прямолинейного движения: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата, а $v_x$ — проекция скорости на ось $Ox$.

Направим ось $Ox$ вправо, как показано на рисунке. Тогда движение вправо будет иметь положительную проекцию скорости ($v_x > 0$), а движение влево — отрицательную ($v_x < 0$).

Составим уравнения движения для каждого экипажа:

• Автобус (движется вправо): $v_{xа} = +20$ м/с. Уравнение движения: $x_а(t) = 500 + 20t$.
• Легковой автомобиль (движется влево): $v_{xл} = -15$ м/с. Уравнение движения: $x_л(t) = 200 - 15t$.
• Мотоциклист (движется влево): $v_{xм} = -10$ м/с. Уравнение движения: $x_м(t) = -300 - 10t$.

а) координату автобуса через 5 с

Подставим время $t = 5$ с в уравнение движения автобуса: $x_а(5) = 500 + 20 \cdot 5 = 500 + 100 = 600$ м.

Ответ: координата автобуса через 5 с будет равна 600 м.

б) координату легкового автомобиля и пройденный путь через 10 с

Найдем координату легкового автомобиля, подставив время $t = 10$ с в его уравнение движения: $x_л(10) = 200 - 15 \cdot 10 = 200 - 150 = 50$ м.

Пройденный путь при равномерном движении вычисляется по формуле $S = |v| \cdot t$. $S_л = |v_л| \cdot t = 15 \cdot 10 = 150$ м.

Ответ: координата легкового автомобиля будет 50 м, а пройденный путь — 150 м.

в) через какое время координата мотоциклиста будет равна –600 м

Подставим значение координаты $x_м = -600$ м в уравнение движения мотоциклиста и найдем время $t$: $-600 = -300 - 10t$
$10t = -300 + 600$
$10t = 300$
$t = \frac{300}{10} = 30$ с.

Ответ: координата мотоциклиста будет равна –600 м через 30 с.

г) в какой момент времени автобус проезжал мимо дерева

Дерево находится в начале координат, то есть его координата $x_д = 0$ м. Найдем время $t$, когда координата автобуса была равна нулю. $x_а(t) = 0$
$500 + 20t = 0$
$20t = -500$
$t = \frac{-500}{20} = -25$ с.

Отрицательное значение времени означает, что событие произошло до начала наблюдения (до $t=0$).

Ответ: автобус проезжал мимо дерева за 25 с до начала наблюдения (в момент времени $t = -25$ с).

д) где был легковой автомобиль за 20 с до начала наблюдения

"За 20 с до начала наблюдения" соответствует моменту времени $t = -20$ с. Подставим это значение в уравнение движения легкового автомобиля: $x_л(-20) = 200 - 15 \cdot (-20) = 200 + 300 = 500$ м.

Ответ: за 20 с до начала наблюдения легковой автомобиль находился в точке с координатой 500 м.

21. Движение грузового автомобиля описывается уравнением $x_1 = -270 + 12t$, а движение пешехода по обочине того же шоссе — уравнением $x_2 = -1,5t$. Сделать пояснительный рисунок (ось X направить вправо), на котором указать положение автомобиля и пешехода в момент начала наблюдения. С какими скоростями и в каком направлении они двигались? Когда и где они встретились?

Дано:

Уравнение движения грузового автомобиля: $x_1(t) = -270 + 12t$

Уравнение движения пешехода: $x_2(t) = -1,5t$

Все величины даны в системе СИ (метры, секунды).

Найти:

1. Пояснительный рисунок с положением тел в момент $t=0$.

2. Скорости $v_1, v_2$ и направления движения.

3. Время $t_{встр}$ и координату $x_{встр}$ встречи.

Решение:

1. Сделать пояснительный рисунок (ось X направить вправо), на котором указать положение автомобиля и пешехода в момент начала наблюдения.

Общий вид уравнения равномерного прямолинейного движения: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата, $v_x$ — проекция скорости на ось X.

В момент начала наблюдения время $t=0$.

Начальная координата автомобиля: $x_{01} = x_1(0) = -270 + 12 \cdot 0 = -270$ м.

Начальная координата пешехода: $x_{02} = x_2(0) = -1,5 \cdot 0 = 0$ м.

Скорость автомобиля $v_{x1} = 12$ м/с, что больше нуля, значит, вектор скорости направлен вправо, по направлению оси Х.

Скорость пешехода $v_{x2} = -1,5$ м/с, что меньше нуля, значит, вектор скорости направлен влево, против направления оси Х.

Изобразим это на рисунке:

Ответ: Рисунок представлен выше. В начальный момент времени автомобиль находился в точке с координатой -270 м, а пешеход - в начале координат (0 м).

С какими скоростями и в каком направлении они двигались?

Сравнивая данные уравнения движения с общим видом $x(t) = x_0 + v_x t$, мы можем определить проекции скоростей на ось X.

Для грузового автомобиля: $x_1 = -270 + 12t$. Проекция его скорости на ось Х равна $v_{x1} = 12$ м/с. Так как проекция положительна ($v_{x1} > 0$), автомобиль движется в положительном направлении оси Х (вправо). Модуль скорости (скорость) равен $v_1 = |v_{x1}| = 12$ м/с.

Для пешехода: $x_2 = -1,5t$. Это уравнение можно записать как $x_2 = 0 + (-1,5)t$. Проекция его скорости на ось Х равна $v_{x2} = -1,5$ м/с. Так как проекция отрицательна ($v_{x2} < 0$), пешеход движется в отрицательном направлении оси Х (влево). Модуль скорости (скорость) равен $v_2 = |v_{x2}| = 1,5$ м/с.

Ответ: Скорость грузового автомобиля $12$ м/с, он движется вправо (по направлению оси X). Скорость пешехода $1,5$ м/с, он движется влево (против направления оси X).

Когда и где они встретились?

Встреча произойдет в тот момент времени $t_{встр}$, когда их координаты будут равны: $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$.

Приравняем правые части уравнений движения:

$-270 + 12t_{встр} = -1,5t_{встр}$

Перенесем слагаемые с $t_{встр}$ в одну сторону, а числовые значения - в другую:

$12t_{встр} + 1,5t_{встр} = 270$

$13,5t_{встр} = 270$

$t_{встр} = \frac{270}{13,5} = 20$ с.

Теперь найдем координату встречи $x_{встр}$, подставив найденное время в любое из двух уравнений. Воспользуемся уравнением для пешехода, так как оно проще:

$x_{встр} = x_2(20) = -1,5 \cdot 20 = -30$ м.

Для проверки подставим время встречи в уравнение для автомобиля:

$x_{встр} = x_1(20) = -270 + 12 \cdot 20 = -270 + 240 = -30$ м.

Результаты совпадают, следовательно, вычисления верны.

Ответ: Автомобиль и пешеход встретились через $20$ секунд после начала наблюдения в точке с координатой $-30$ м.