Страница 6 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

4. Указать, в каких из приведённых ниже случаях изучаемое тело можно принять за материальную точку:

а) вычисляют давление трактора на грунт;

б) определяют высоту поднятия ракеты;

в) рассчитывают работу, совершённую при поднятии в горизонтальном положении плиты перекрытия известной массы на заданную высоту;

г) определяют объём стального шарика, пользуясь измерительным цилиндром (мензуркой).

Материальная точка — это модель тела, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Тело можно считать материальной точкой, если его размеры значительно меньше характерных для задачи расстояний (например, пройденного пути), или если тело движется поступательно и его размеры и форма не влияют на результат вычислений.

а) вычисляют давление трактора на грунт
Давление определяется как сила, действующая на единицу площади ($p = F/S$). Для вычисления давления трактора на грунт необходимо знать площадь его гусениц. Следовательно, размеры и форма тела в этой задаче имеют решающее значение, и трактор нельзя считать материальной точкой.

б) определяют высоту поднятия ракеты
Высота, на которую поднимается ракета, как правило, во много раз превышает её собственные размеры. При рассмотрении траектории на таких масштабах ракетой как протяженным телом можно пренебречь, заменив её на материальную точку, в которой сосредоточена вся масса.

в) рассчитывают работу, совершённую при поднятии в горизонтальном положении плиты перекрытия известной массы на заданную высоту
Работа, совершаемая для поднятия тела на высоту $h$ в поле силы тяжести, вычисляется по формуле $A = mgh$, где $h$ — это высота подъёма центра масс тела. Так как плита движется поступательно (все её точки перемещаются одинаково), для вычисления работы достаточно рассматривать движение её центра масс. Размеры и форма плиты для этого расчёта не важны. Следовательно, плиту можно принять за материальную точку.

г) определяют объём стального шарика, пользуясь измерительным цилиндром (мензуркой)
В данном случае сама задача заключается в определении объёма — характеристики, напрямую связанной с размерами тела. Материальная точка, по определению, не имеет размеров и, следовательно, объёма. Поэтому в этой задаче шарик нельзя рассматривать как материальную точку.

Ответ: Тело можно принять за материальную точку в случаях б) и в).

5. Можно ли принять за материальную точку снаряд при расчёте:

а) дальности полёта снаряда;

б) формы снаряда, обеспечивающей уменьшение сопротивления воздуха?

а) дальности полёта снаряда;

Понятие "материальная точка" используется в физике для описания объектов, размерами и формой которых можно пренебречь в условиях конкретной задачи. При расчете дальности полёта снаряда, он преодолевает расстояние, которое во много раз превышает его собственные размеры. Например, снаряд длиной 50 см может пролетать несколько километров. В таком масштабе размеры и форма снаряда не оказывают существенного влияния на общую траекторию его центра масс, и для упрощения расчетов его можно считать точечным объектом, обладающим массой.

Ответ: да, можно, так как размеры снаряда пренебрежимо малы по сравнению с дальностью его полёта.

б) формы снаряда, обеспечивающей уменьшение сопротивления воздуха?

В данной задаче ключевым параметром является именно форма снаряда. Сила сопротивления воздуха (аэродинамическое сопротивление) напрямую зависит от геометрии тела, его формы и площади поперечного сечения. Для того чтобы рассчитать или спроектировать форму, которая минимизирует сопротивление, необходимо детально рассматривать размеры и очертания снаряда. Модель материальной точки по определению лишена размеров и формы, поэтому она абсолютно неприменима для решения этой задачи.

Ответ: нет, нельзя, так как в данном случае форма и размеры тела являются определяющими факторами.

6. Можно ли принять за материальную точку железнодорожный состав длиной около 1 км при расчёте пути, пройденного за несколько секунд?

Материальная точка — это физическая модель, тело, размерами и формой которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Возможность применения этой модели определяется сравнением размеров тела с характерными для задачи расстояниями. Если размеры тела значительно меньше этих расстояний, то тело можно считать материальной точкой.

В данной задаче рассматривается железнодорожный состав, размер которого (длина) $L \approx 1 \text{ км}$ или $1000 \text{ м}$. Характерным расстоянием является путь $S$, который состав проходит за несколько секунд.

Давайте оценим, какой путь может пройти поезд за небольшое время. Типичная скорость движения поезда составляет, например, $v = 72 \text{ км/ч}$. Переведем эту скорость в систему СИ:

$v = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

Пусть время движения $t$ равно, к примеру, 5 секундам. Тогда путь, пройденный поездом (его головной частью), составит:

$S = v \cdot t = 20 \text{ м/с} \cdot 5 \text{ с} = 100 \text{ м}$

Теперь сравним размер тела (длину состава $L$) с пройденным расстоянием $S$:

$L = 1000 \text{ м}$

$S = 100 \text{ м}$

Длина состава ($1000$ м) не только не мала по сравнению с пройденным путем ($100$ м), но и в 10 раз его превышает. Это означает, что пока головная часть поезда пройдет $100$ метров, его хвостовая часть все еще будет находиться на исходной позиции. Разные точки состава проходят совершенно разные пути, поэтому пренебречь размерами поезда в данном случае невозможно.

Ответ: Нет, нельзя. В условиях данной задачи длина железнодорожного состава (1 км) соизмерима или даже значительно больше пути, пройденного им за несколько секунд. Следовательно, пренебрегать размерами состава и считать его материальной точкой некорректно.

7. На рисунке 3 изображён план футбольного поля на пришкольном участке. Найти координаты угловых флажков (O, B, C, D), мяча (E), зрителей (K, L, M).

Рис. 3

Дано:

На рисунке представлен план участка в прямоугольной системе координат $xOy$. Оси подписаны в метрах (м). Масштаб координатной сетки: 5 клеток по оси $x$ соответствуют 50 м, и 5 клеток по оси $y$ соответствуют 50 м. Следовательно, цена одного деления (одной клетки) по обеим осям составляет:

$50 \text{ м} / 5 \text{ клеток} = 10 \text{ м/клетку}$

Найти:

Координаты угловых флажков (O, B, C, D)
Координаты мяча (E)
Координаты зрителей (K, L, M)

Решение:

Для определения координат каждой точки найдем ее положение в клетках относительно начала координат (точки O) и умножим эти значения на масштаб (10 м/клетку). Координаты точки записываются в формате $(x, y)$, где $x$ — абсцисса (смещение по горизонтали), а $y$ — ордината (смещение по вертикали).

угловых флажков (O, B, C, D)

- Точка $O$ является началом координат, поэтому ее координаты $(0, 0)$.
- Точка $B$ лежит на оси $y$ и смещена на 6 клеток вверх. Ее абсцисса $x=0$, а ордината $y = 6 \cdot 10 = 60$. Таким образом, координаты точки $B(0, 60)$.
- Точка $C$ смещена на 9 клеток вправо по оси $x$ и на 6 клеток вверх по оси $y$. Ее абсцисса $x = 9 \cdot 10 = 90$, а ордината $y = 6 \cdot 10 = 60$. Таким образом, координаты точки $C(90, 60)$.
- Точка $D$ лежит на оси $x$ и смещена на 9 клеток вправо. Ее абсцисса $x = 9 \cdot 10 = 90$, а ордината $y=0$. Таким образом, координаты точки $D(90, 0)$.

Ответ: $O(0, 0)$; $B(0, 60)$; $C(90, 60)$; $D(90, 0)$.

мяча (E)

- Точка $E$ смещена на 3 клетки вправо по оси $x$ и на 4 клетки вверх по оси $y$. Ее абсцисса $x = 3 \cdot 10 = 30$, а ордината $y = 4 \cdot 10 = 40$.

Ответ: $E(30, 40)$.

зрителей (K, L, M)

- Точка $K$ смещена на 1 клетку влево (отрицательное направление оси $x$) и на 2 клетки вверх. Ее абсцисса $x = -1 \cdot 10 = -10$, а ордината $y = 2 \cdot 10 = 20$. Таким образом, координаты точки $K(-10, 20)$.
- Точка $L$ смещена на 1 клетку влево и на 1 клетку вниз (отрицательное направление оси $y$). Ее абсцисса $x = -1 \cdot 10 = -10$, а ордината $y = -1 \cdot 10 = -10$. Таким образом, координаты точки $L(-10, -10)$.
- Точка $M$ смещена на 2 клетки вправо и на 1 клетку вниз. Ее абсцисса $x = 2 \cdot 10 = 20$, а ордината $y = -1 \cdot 10 = -10$. Таким образом, координаты точки $M(20, -10)$.

Ответ: $K(-10, 20)$; $L(-10, -10)$; $M(20, -10)$.

8. Найти координаты (приблизительно) левого нижнего угла доски, правого верхнего угла стола, за которым вы сидите. Для этого связать систему отсчёта с классом и совместить ось $X$ с линией пересечения пола и стены, на которой висит доска, ось $Y$ с линией пересечения пола и наружной стены, а ось $Z$ с линией пересечения этих стен.

Для решения данной задачи необходимо сначала правильно интерпретировать заданную систему отсчёта, а затем, сделав разумные предположения о размерах и расположении объектов в типичной классной комнате, вычислить их приблизительные координаты. Все измерения будем производить в метрах (м).

Описание системы координат и принятые допущения

Согласно условию, свяжем систему отсчёта с классной комнатой. Предположим, что комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда, где стены перпендикулярны друг другу и полу.

• Начало координат O(0; 0; 0): это угол комнаты, в котором пересекаются пол, стена с классной доской и наружная стена.
• Ось OX: направлена вдоль линии пересечения пола и стены с доской.
• Ось OY: направлена вдоль линии пересечения пола и наружной стены.
• Ось OZ: направлена вертикально вверх, вдоль линии пересечения двух упомянутых стен.

Для вычислений примем следующие реалистичные, но произвольные размеры:

• Длина стены с доской (вдоль оси OX) — 8 м.
• Размеры классной доски: ширина — 4 м, высота — 1,2 м.
• Расположение доски: симметрично по центру стены, нижний край на высоте 0,9 м от пола.
• Размеры ученического стола: ширина (вдоль OX) — 0,7 м, глубина (вдоль OY) — 0,5 м, высота — 0,75 м.
• Расположение стола: ближайший к началу координат угол столешницы находится в точке, проекция которой на пол имеет координаты $(4 \text{ м}; 3 \text{ м})$.

Доска висит на стене, которая в нашей системе координат совпадает с плоскостью XZ. Для любой точки на этой стене координата по оси Y равна нулю ($y=0$).

1. Координата X. Доска шириной 4 м расположена по центру стены длиной 8 м. Следовательно, расстояние от угла комнаты (начала оси X) до левого края доски составляет: $x = (8 - 4) / 2 = 2$ м.

2. Координата Y. Так как доска находится на стене, являющейся плоскостью XZ, её координата по оси Y равна нулю: $y = 0$ м.

3. Координата Z. Это высота нижнего края доски от пола, которую мы приняли равной: $z = 0,9$ м.

Таким образом, координаты левого нижнего угла доски: $(2; 0; 0,9)$.

Ответ: $(2; 0; 0,9)$ м.

Мы определили положение стола его левым ближним углом к началу координат. "Правый верхний" угол стола — это точка на его поверхности, имеющая максимальные координаты X и Y.

1. Координата X. Она равна координате левого края стола плюс его ширина: $x = 4 \text{ м} + 0,7 \text{ м} = 4,7$ м.

2. Координата Y. Она равна координате ближнего края стола плюс его глубина: $y = 3 \text{ м} + 0,5 \text{ м} = 3,5$ м.

3. Координата Z. Она равна высоте стола: $z = 0,75$ м.

Таким образом, координаты правого верхнего угла стола: $(4,7; 3,5; 0,75)$.

Ответ: $(4,7; 3,5; 0,75)$ м.

9. Сравнить пути и перемещения вертолёта и автомобиля, траектории которых показаны на рисунке 4.

Рис. 4

Для решения этой задачи необходимо разобраться в понятиях путь и перемещение.

Путь – это длина траектории, то есть линии, по которой двигалось тело. Это скалярная величина.

Перемещение – это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Модуль перемещения равен кратчайшему расстоянию между начальной и конечной точками.

Теперь применим эти понятия к ситуации, изображённой на рисунке 4.

Сравнение перемещений

И вертолёт, и автомобиль начинают движение в одной и той же начальной точке и завершают его в одной и той же конечной точке. Так как перемещение определяется только начальным и конечным положением, их векторы перемещения одинаковы.

Если обозначить перемещение автомобиля как $ \vec{s}_{авто} $, а перемещение вертолёта как $ \vec{s}_{верт} $, то:

$ \vec{s}_{авто} = \vec{s}_{верт} $

Следовательно, и модули (длины) их перемещений также равны: $ |\vec{s}_{авто}| = |\vec{s}_{верт}| $.

Сравнение путей

Путь равен длине траектории. Вертолёт движется по прямой — это кратчайшее расстояние между начальной и конечной точками. Поэтому путь вертолёта $ L_{верт} $ равен модулю его перемещения:

$ L_{верт} = |\vec{s}_{верт}| $

Автомобиль движется по извилистой дороге. Его траектория — это кривая линия. Длина этой кривой (путь автомобиля $ L_{авто} $) очевидно больше, чем расстояние по прямой между теми же точками.

$ L_{авто} > |\vec{s}_{авто}| $

Сопоставляя эти факты, получаем, что путь автомобиля больше пути вертолёта:

$ L_{авто} > L_{верт} $

Ответ: Перемещения вертолёта и автомобиля равны, поскольку их начальные и конечные точки совпадают. Путь, пройденный автомобилем, больше пути, пройденного вертолётом, так как траектория движения автомобиля (извилистая дорога) длиннее траектории движения вертолёта (прямая линия).