Страница 14 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

48. Велосипедист за первые 5 с проехал 40 м, за следующие 10 с — 100 м и за последние 5 с — 20 м. Найти средние скорости на каждом из участков и на всём пути.

Дано:

$t_1 = 5$ с
$s_1 = 40$ м
$t_2 = 10$ с
$s_2 = 100$ м
$t_3 = 5$ с
$s_3 = 20$ м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_{ср1}$ — ?
$v_{ср2}$ — ?
$v_{ср3}$ — ?
$v_{ср.общ}$ — ?

Решение:

Средняя скорость на любом участке пути вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{S}{t}$, где $S$ — пройденный путь, а $t$ — время, за которое этот путь пройден.

Средняя скорость на первом участке

На первом участке велосипедист проехал путь $s_1 = 40$ м за время $t_1 = 5$ с. Средняя скорость на этом участке равна:

$v_{ср1} = \frac{s_1}{t_1} = \frac{40 \text{ м}}{5 \text{ с}} = 8$ м/с.

Ответ: средняя скорость на первом участке составляет 8 м/с.

Средняя скорость на втором участке

На втором участке велосипедист проехал путь $s_2 = 100$ м за время $t_2 = 10$ с. Средняя скорость на этом участке равна:

$v_{ср2} = \frac{s_2}{t_2} = \frac{100 \text{ м}}{10 \text{ с}} = 10$ м/с.

Ответ: средняя скорость на втором участке составляет 10 м/с.

Средняя скорость на третьем участке

На третьем, последнем, участке велосипедист проехал путь $s_3 = 20$ м за время $t_3 = 5$ с. Средняя скорость на этом участке равна:

$v_{ср3} = \frac{s_3}{t_3} = \frac{20 \text{ м}}{5 \text{ с}} = 4$ м/с.

Ответ: средняя скорость на третьем участке составляет 4 м/с.

Средняя скорость на всём пути

Чтобы найти среднюю скорость на всём пути, необходимо найти весь пройденный путь и всё затраченное время.

Весь путь $S_{общ}$ равен сумме путей на каждом из участков:

$S_{общ} = s_1 + s_2 + s_3 = 40 \text{ м} + 100 \text{ м} + 20 \text{ м} = 160$ м.

Всё время движения $t_{общ}$ равно сумме временных интервалов:

$t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = 5 \text{ с} + 10 \text{ с} + 5 \text{ с} = 20$ с.

Теперь можно вычислить среднюю скорость на всём пути:

$v_{ср.общ} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{160 \text{ м}}{20 \text{ с}} = 8$ м/с.

Ответ: средняя скорость на всём пути составляет 8 м/с.

49*. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью $v_1 = 10 \text{ м/с}$, а вторую половину пути со скоростью $v_2 = 15 \text{ м/с}$. Найти среднюю скорость на всём пути. Доказать, что средняя скорость меньше среднего арифметического значений $v_1$ и $v_2$.

Дано:

$v_1 = 10 \text{ м/с}$

$v_2 = 15 \text{ м/с}$

Автомобиль проехал две равные половины пути: $S_1 = S_2 = S/2$, где $S$ - весь путь.

Найти:

$v_{ср}$ - ?

Доказать, что $v_{ср} < \frac{v_1 + v_2}{2}$

Решение:

Задача состоит из двух частей: сначала мы найдем среднюю скорость автомобиля на всем пути, а затем докажем, что полученное значение (которое является средним гармоническим) меньше среднего арифметического скоростей на двух участках.

1. Нахождение средней скорости $v_{ср}$

Средняя скорость по определению равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Весь путь $S_{общ}$ состоит из двух равных участков: $S_{общ} = S_1 + S_2 = S/2 + S/2 = S$.

Время, затраченное на прохождение каждого участка, можно найти как отношение длины участка к скорости на нем:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$

$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$

Общее время движения равно сумме времен на каждом участке:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2} = \frac{S}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right) = \frac{S(v_1 + v_2)}{2v_1 v_2}$

Теперь подставим выражения для общего пути и общего времени в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S}{t_{общ}} = \frac{S}{\frac{S(v_1 + v_2)}{2v_1 v_2}} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v_{ср} = \frac{2 \cdot 10 \cdot 15}{10 + 15} = \frac{300}{25} = 12 \text{ м/с}$

Ответ: средняя скорость на всём пути равна 12 м/с.

2. Доказательство неравенства $v_{ср} < \frac{v_1 + v_2}{2}$

Нам нужно доказать, что средняя скорость, которую мы нашли (среднее гармоническое), меньше среднего арифметического скоростей $v_1$ и $v_2$.

Запишем доказываемое неравенство:

$\frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2} < \frac{v_1 + v_2}{2}$

Так как скорости $v_1$ и $v_2$ являются положительными величинами, то и их сумма $v_1 + v_2$ также положительна. Мы можем умножить обе части неравенства на $2(v_1 + v_2)$ без изменения знака неравенства:

$2 \cdot (2v_1 v_2) < (v_1 + v_2) \cdot (v_1 + v_2)$

$4v_1 v_2 < (v_1 + v_2)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$4v_1 v_2 < v_1^2 + 2v_1 v_2 + v_2^2$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 < v_1^2 + 2v_1 v_2 - 4v_1 v_2 + v_2^2$

$0 < v_1^2 - 2v_1 v_2 + v_2^2$

Свернем правую часть по формуле квадрата разности:

$0 < (v_1 - v_2)^2$

Квадрат любого действительного числа, отличного от нуля, всегда является положительной величиной. В условии задачи даны разные скорости ($v_1 = 10 \text{ м/с}$, $v_2 = 15 \text{ м/с}$), следовательно $v_1 \neq v_2$, и разность $v_1 - v_2$ не равна нулю. Таким образом, $(v_1 - v_2)^2$ всегда будет строго больше нуля. Это доказывает исходное неравенство.

Проверим это на наших числовых данных:

$v_{ср} = 12 \text{ м/с}$

Среднее арифметическое: $\frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{10 + 15}{2} = \frac{25}{2} = 12.5 \text{ м/с}$

$12 < 12.5$ - неравенство выполняется.

Ответ: неравенство $v_{ср} < \frac{v_1 + v_2}{2}$ доказано, так как оно сводится к верному неравенству $0 < (v_1 - v_2)^2$ при $v_1 \neq v_2$.

50. На рисунке 16 воспроизведено со стробоскопической фотографии движение шарика. Найти среднюю скорость движения шарика на участке $AB$ и мгновенную скорость в точке $C$, зная, что частота съёмки 50 раз в 1 с. Натуральная длина спичечного коробка, изображённого на фотографии, равна 50 мм. Движение по горизонтальному участку считать равномерным.

Рис. 16

Дано:

Частота стробоскопической съемки: $ \nu = 50 $ раз в 1 с

Натуральная длина спичечного коробка: $ L_{реал} = 50 $ мм

Движение на горизонтальном участке - равномерное.

Частота: $ \nu = 50 $ Гц

Длина коробка: $ L_{реал} = 50 \text{ мм} = 0.05 \text{ м} $

Найти:

Среднюю скорость на участке AB - $ v_{ср, AB} $

Мгновенную скорость в точке C - $ v_C $

Решение:

Стробоскопическая фотография фиксирует положения движущегося объекта через равные промежутки времени. Этот промежуток времени $ \Delta t $ является периодом, обратным частоте съемки $ \nu $: $ \Delta t = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{50 \text{ Гц}} = 0.02 \text{ с} $

Для определения реальных расстояний, пройденных шариком, используем спичечный коробок в качестве масштаба. Измерив на рисунке длину коробка ($ L_{изм} $) и интересующие нас расстояния, мы можем рассчитать их реальные значения.

Средняя скорость движения шарика на участке АВ

Средняя скорость определяется как отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден: $ v_{ср} = \frac{S}{t} $.

На участке от точки А (первое положение шарика) до точки В (четвертое положение шарика) проходит 3 временных интервала. Таким образом, время движения шарика на участке АВ составляет: $ t_{AB} = 3 \cdot \Delta t = 3 \cdot 0.02 \text{ с} = 0.06 \text{ с} $

Теперь определим длину пути $ S_{AB} $. Путем измерений на рисунке устанавливаем, что длина криволинейного пути $ S_{AB, изм} $ относится к длине коробка $ L_{изм} $ примерно как 0.91 к 1. $ \frac{S_{AB, изм}}{L_{изм}} \approx 0.91 $

Зная реальную длину коробка $ L_{реал} $, находим реальную длину пути $ S_{AB} $: $ S_{AB} = L_{реал} \cdot \frac{S_{AB, изм}}{L_{изм}} \approx 0.05 \text{ м} \cdot 0.91 \approx 0.0455 \text{ м} $

Теперь мы можем рассчитать среднюю скорость на участке АВ: $ v_{ср, AB} = \frac{S_{AB}}{t_{AB}} \approx \frac{0.0455 \text{ м}}{0.06 \text{ с}} \approx 0.76 \text{ м/с} $

Ответ: средняя скорость движения шарика на участке АВ составляет примерно 0.76 м/с.

Мгновенная скорость в точке С

По условию, движение шарика по горизонтальному участку является равномерным. При равномерном движении мгновенная скорость в любой точке равна средней скорости на этом участке.

Для нахождения этой скорости определим расстояние $ \Delta S_C $, которое шарик проходит за один временной интервал $ \Delta t = 0.02 $ с на горизонтальном участке.

Измерим на рисунке расстояние между центрами двух соседних шариков на горизонтальном участке ($ \Delta S_{C, изм} $) и сравним его с длиной коробка ($ L_{изм} $). Их отношение составляет: $ \frac{\Delta S_{C, изм}}{L_{изм}} = 0.4 $

Тогда реальное расстояние $ \Delta S_C $ равно: $ \Delta S_C = L_{реал} \cdot \frac{\Delta S_{C, изм}}{L_{изм}} = 0.05 \text{ м} \cdot 0.4 = 0.02 \text{ м} $

Мгновенная скорость в точке С (и на всем горизонтальном участке) равна: $ v_C = \frac{\Delta S_C}{\Delta t} = \frac{0.02 \text{ м}}{0.02 \text{ с}} = 1.0 \text{ м/с} $

Ответ: мгновенная скорость в точке С равна 1.0 м/с.

51¹. При ударе кузнечного молота по заготовке ускорение при торможении молота было по модулю равно $200 \text{ м/с}^2$. Сколько времени длится удар, если начальная скорость молота была $10 \text{ м/с}$?

Дано:

Модуль ускорения при торможении, $a = 200 \text{ м/с}^2$

Начальная скорость молота, $v_0 = 10 \text{ м/с}$

Конечная скорость молота, $v = 0 \text{ м/с}$ (молот останавливается в момент удара)

Найти:

Время удара, $t$

Решение:

Движение молота при ударе является равнозамедленным. Воспользуемся формулой для скорости при равноускоренном (в данном случае равнозамедленном) движении:

$v = v_0 + a_x t$

Выберем ось $X$, направленную в сторону начального движения молота. Тогда проекция начальной скорости на эту ось будет положительной $v_{0x} = v_0 = 10 \text{ м/с}$. Поскольку молот тормозит, вектор ускорения направлен в противоположную сторону, поэтому его проекция на ось $X$ будет отрицательной: $a_x = -a = -200 \text{ м/с}^2$. Конечная скорость молота равна нулю: $v=0$.

Подставим значения в формулу:

$0 = v_0 - at$

Выразим из этого уравнения время $t$:

$at = v_0$

$t = \frac{v_0}{a}$

Теперь подставим числовые значения и произведем расчет:

$t = \frac{10 \text{ м/с}}{200 \text{ м/с}^2} = 0.05 \text{ с}$

Ответ: 0.05 с.

52. Поезд через 10 $s$ после начала движения приобретает скорость 0,6 $m/s$. Через какое время от начала движения скорость поезда станет равна 3 $m/s$?

Дано:

Найти:

Решение:

Поскольку поезд начинает движение и его скорость со временем увеличивается, мы можем считать его движение равноускоренным. Формула скорости для равноускоренного движения выглядит следующим образом:

$v = v_0 + at$

В условии сказано, что поезд начинает движение, следовательно, его начальная скорость $v_0 = 0$. Тогда формула упрощается:

$v = at$

Движение происходит с постоянным ускорением $a$. Сначала найдем это ускорение, используя данные для первого момента времени: через $t_1 = 10$ с скорость достигла $v_1 = 0,6$ м/с.

$v_1 = a \cdot t_1$

Отсюда можно выразить ускорение:

$a = \frac{v_1}{t_1}$

Подставим числовые значения, чтобы найти ускорение поезда:

$a = \frac{0,6 \text{ м/с}}{10 \text{ с}} = 0,06 \text{ м/с}^2$

Теперь, зная ускорение поезда, мы можем определить время $t_2$, за которое его скорость станет равной $v_2 = 3$ м/с. Используем ту же формулу $v = at$:

$v_2 = a \cdot t_2$

Выразим искомое время $t_2$:

$t_2 = \frac{v_2}{a}$

Подставим значения скорости $v_2$ и найденного ускорения $a$:

$t_2 = \frac{3 \text{ м/с}}{0,06 \text{ м/с}^2} = 50 \text{ с}$

Ответ: скорость поезда станет равна 3 м/с через 50 с от начала движения.

53. Велосипедист движется под уклон с ускорением $0.3 \text{ м/с}^2$. Какую скорость приобретёт велосипедист через 20 с, если его начальная скорость равна $4 \text{ м/с}$?

Дано:

Ускорение $a = 0,3 \text{ м/с²}$

Время $t = 20 \text{ с}$

Начальная скорость $v_0 = 4 \text{ м/с}$

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Конечную скорость $v$

Решение:

Движение велосипедиста является равноускоренным, так как он движется с постоянным ускорением. Для нахождения конечной скорости при равноускоренном движении используется следующая формула:

$v = v_0 + a \cdot t$

где $v$ - конечная скорость, $v_0$ - начальная скорость, $a$ - ускорение, $t$ - время движения.

Подставим известные значения в формулу:

$v = 4 \text{ м/с} + 0,3 \text{ м/с²} \cdot 20 \text{ с}$

Сначала вычислим произведение ускорения на время:

$0,3 \text{ м/с²} \cdot 20 \text{ с} = 6 \text{ м/с}$

Теперь сложим полученное значение с начальной скоростью:

$v = 4 \text{ м/с} + 6 \text{ м/с} = 10 \text{ м/с}$

Ответ: через 20 секунд велосипедист приобретёт скорость 10 м/с.

54. За какое время автомобиль, двигаясь с ускорением $0.4 \text{ м/с}^2$, увеличит свою скорость с $12 \text{ м/с}$ до $20 \text{ м/с}$?

Дано:

Ускорение $a = 0,4 \text{ м/с}^2$

Начальная скорость $v_0 = 12 \text{ м/с}$

Конечная скорость $v = 20 \text{ м/с}$

Найти:

Время $t$

Решение:

При равноускоренном движении ускорение определяется как изменение скорости за единицу времени. Формула для ускорения выглядит следующим образом:

$a = \frac{\Delta v}{t} = \frac{v - v_0}{t}$

где $a$ — ускорение, $v$ — конечная скорость, $v_0$ — начальная скорость, а $t$ — время, за которое произошло изменение скорости.

Чтобы найти время, необходимое для изменения скорости, выразим $t$ из этой формулы:

$t = \frac{v - v_0}{a}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$t = \frac{20 \text{ м/с} - 12 \text{ м/с}}{0,4 \text{ м/с}^2}$

$t = \frac{8 \text{ м/с}}{0,4 \text{ м/с}^2}$

$t = 20 \text{ с}$

Ответ: 20 с.

55. Зависимость скорости от времени при разгоне автомобиля задана формулой $v_x = 0.8t$. Построить график зависимости скорости от времени и найти скорость в конце пятой секунды.

Дано:

Зависимость скорости от времени: $v_x = 0,8t$

Время: $t = 5$ с

Найти:

1. График зависимости $v_x(t)$ - ?

2. Скорость $v_x$ в конце пятой секунды - ?

Решение:

Заданное уравнение $v_x = 0,8t$ является частным случаем уравнения скорости для равноускоренного прямолинейного движения $v_x = v_{0x} + a_x t$. В данном случае начальная скорость автомобиля $v_{0x} = 0$, а его ускорение $a_x = 0,8$ м/с².

Зависимость скорости от времени является линейной, следовательно, ее график — это прямая линия.

Для построения графика достаточно найти координаты двух любых точек:

• При $t_1 = 0$ с, скорость $v_{x1} = 0,8 \cdot 0 = 0$ м/с. Получаем точку в начале координат (0; 0).
• При $t_2 = 5$ с, скорость $v_{x2} = 0,8 \cdot 5 = 4$ м/с. Получаем точку с координатами (5; 4).

Теперь можно построить график. По оси абсцисс откладываем время $t$ в секундах (с), а по оси ординат — скорость $v_x$ в метрах в секунду (м/с). Проводим прямую через точки (0; 0) и (5; 4).

Скорость автомобиля в конце пятой секунды (при $t=5$ с) мы уже вычислили при построении графика:

$v_x(t=5 \text{ с}) = 0,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 5 \text{ с} = 4$ м/с.

Ответ: график зависимости скорости от времени — прямая линия, проходящая через начало координат и точку с координатами (5 с; 4 м/с). Скорость автомобиля в конце пятой секунды равна 4 м/с.