Номер 49, страница 14 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

49*. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью $v_1 = 10 \text{ м/с}$, а вторую половину пути со скоростью $v_2 = 15 \text{ м/с}$. Найти среднюю скорость на всём пути. Доказать, что средняя скорость меньше среднего арифметического значений $v_1$ и $v_2$.

Дано:

$v_1 = 10 \text{ м/с}$

$v_2 = 15 \text{ м/с}$

Автомобиль проехал две равные половины пути: $S_1 = S_2 = S/2$, где $S$ - весь путь.

Найти:

$v_{ср}$ - ?

Доказать, что $v_{ср} < \frac{v_1 + v_2}{2}$

Решение:

Задача состоит из двух частей: сначала мы найдем среднюю скорость автомобиля на всем пути, а затем докажем, что полученное значение (которое является средним гармоническим) меньше среднего арифметического скоростей на двух участках.

1. Нахождение средней скорости $v_{ср}$

Средняя скорость по определению равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Весь путь $S_{общ}$ состоит из двух равных участков: $S_{общ} = S_1 + S_2 = S/2 + S/2 = S$.

Время, затраченное на прохождение каждого участка, можно найти как отношение длины участка к скорости на нем:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$

$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$

Общее время движения равно сумме времен на каждом участке:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2} = \frac{S}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right) = \frac{S(v_1 + v_2)}{2v_1 v_2}$

Теперь подставим выражения для общего пути и общего времени в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S}{t_{общ}} = \frac{S}{\frac{S(v_1 + v_2)}{2v_1 v_2}} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v_{ср} = \frac{2 \cdot 10 \cdot 15}{10 + 15} = \frac{300}{25} = 12 \text{ м/с}$

Ответ: средняя скорость на всём пути равна 12 м/с.

2. Доказательство неравенства $v_{ср} < \frac{v_1 + v_2}{2}$

Нам нужно доказать, что средняя скорость, которую мы нашли (среднее гармоническое), меньше среднего арифметического скоростей $v_1$ и $v_2$.

Запишем доказываемое неравенство:

$\frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2} < \frac{v_1 + v_2}{2}$

Так как скорости $v_1$ и $v_2$ являются положительными величинами, то и их сумма $v_1 + v_2$ также положительна. Мы можем умножить обе части неравенства на $2(v_1 + v_2)$ без изменения знака неравенства:

$2 \cdot (2v_1 v_2) < (v_1 + v_2) \cdot (v_1 + v_2)$

$4v_1 v_2 < (v_1 + v_2)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$4v_1 v_2 < v_1^2 + 2v_1 v_2 + v_2^2$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 < v_1^2 + 2v_1 v_2 - 4v_1 v_2 + v_2^2$

$0 < v_1^2 - 2v_1 v_2 + v_2^2$

Свернем правую часть по формуле квадрата разности:

$0 < (v_1 - v_2)^2$

Квадрат любого действительного числа, отличного от нуля, всегда является положительной величиной. В условии задачи даны разные скорости ($v_1 = 10 \text{ м/с}$, $v_2 = 15 \text{ м/с}$), следовательно $v_1 \neq v_2$, и разность $v_1 - v_2$ не равна нулю. Таким образом, $(v_1 - v_2)^2$ всегда будет строго больше нуля. Это доказывает исходное неравенство.

Проверим это на наших числовых данных:

$v_{ср} = 12 \text{ м/с}$

Среднее арифметическое: $\frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{10 + 15}{2} = \frac{25}{2} = 12.5 \text{ м/с}$

$12 < 12.5$ - неравенство выполняется.

Ответ: неравенство $v_{ср} < \frac{v_1 + v_2}{2}$ доказано, так как оно сводится к верному неравенству $0 < (v_1 - v_2)^2$ при $v_1 \neq v_2$.