Номер 45, страница 13 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

45. На токарном станке вытачивают деталь в форме усечённого конуса (рис. 14). Какова должна быть скорость поперечной подачи резца, если скорость продольной подачи 25 см/мин? Размеры детали (в миллиметрах) указаны на рисунке.

Рис. 14

Дано:

Диаметр большего основания, $D_2 = 42$ мм
Диаметр меньшего основания, $D_1 = 38$ мм
Длина конической части, $L = 100$ мм
Скорость продольной подачи, $v_2 = 25$ см/мин

Переведем все величины в единую систему измерений (миллиметры и минуты):
$v_2 = 25 \text{ см/мин} = 250 \text{ мм/мин}$

Найти:

Скорость поперечной подачи резца, $v_1$.

Решение:

При вытачивании детали в форме усечённого конуса резец должен двигаться одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях: продольном (вдоль оси детали, скорость $v_2$) и поперечном (перпендикулярно оси детали, скорость $v_1$). Чтобы получить коническую поверхность, результирующий вектор скорости резца должен быть направлен вдоль образующей конуса.

Отношение скоростей поперечной и продольной подачи равно тангенсу угла наклона $\alpha$ образующей конуса к его оси. Этот же тангенс можно найти из геометрических размеров детали, рассматривая её осевое сечение.

Осевое сечение усеченного конуса — это равнобокая трапеция. Угол наклона $\alpha$ можно определить из прямоугольного треугольника, катетами которого являются длина конической части $L$ и изменение радиуса $\Delta r$ на этой длине.

Найдем изменение диаметра детали: $ \Delta D = D_2 - D_1 = 42 \text{ мм} - 38 \text{ мм} = 4 \text{ мм} $

Изменение радиуса составляет половину изменения диаметра: $ \Delta r = \frac{\Delta D}{2} = \frac{4 \text{ мм}}{2} = 2 \text{ мм} $

Теперь можем найти тангенс угла наклона образующей к оси детали: $ \tan(\alpha) = \frac{\Delta r}{L} $

С другой стороны, отношение составляющих скорости также равно тангенсу этого угла: $ \tan(\alpha) = \frac{v_1}{v_2} $

Приравняем оба выражения для тангенса угла $\alpha$: $ \frac{v_1}{v_2} = \frac{\Delta r}{L} $

Из этого соотношения выразим искомую скорость поперечной подачи $v_1$: $ v_1 = v_2 \cdot \frac{\Delta r}{L} $

Подставим числовые значения в полученную формулу: $ v_1 = 250 \frac{\text{мм}}{\text{мин}} \cdot \frac{2 \text{ мм}}{100 \text{ мм}} = 250 \cdot 0.02 \frac{\text{мм}}{\text{мин}} = 5 \frac{\text{мм}}{\text{мин}} $

Для удобства можно перевести ответ в см/мин: $ v_1 = 5 \text{ мм/мин} = 0.5 \text{ см/мин} $

Ответ: скорость поперечной подачи резца должна быть 5 мм/мин.