Номер 47, страница 13 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

47*. В системе отсчёта, связанной с землёй, трамвай движется со скоростью $v = 2,4$ м/с (рис. 15), а три пешехода — с одинаковыми по модулю скоростями $v_1 = v_2 = v_3 = 1$ м/с.

Найти:

а) модули скоростей пешеходов в системе отсчёта, связанной с трамваем;

б) проекции векторов скоростей пешеходов на оси координат в этой системе отсчёта.

Рис. 15

Дано:

Скорость трамвая в системе отсчёта, связанной с землёй: $v = 2,4$ м/с.
Модули скоростей пешеходов в системе отсчёта, связанной с землёй: $v_1 = v_2 = v_3 = 1$ м/с.

Найти:

а) Модули скоростей пешеходов в системе отсчёта, связанной с трамваем: $v'_1, v'_2, v'_3$.
б) Проекции векторов скоростей пешеходов на оси координат в этой системе отсчёта: $v'_{1x}, v'_{1y}; v'_{2x}, v'_{2y}; v'_{3x}, v'_{3y}$.

Решение:

Для нахождения скоростей пешеходов в системе отсчёта, связанной с трамваем (относительные скорости), воспользуемся законом сложения скоростей. Скорость пешехода относительно земли ($\vec{v}_i$) равна векторной сумме его скорости относительно трамвая ($\vec{v'}_i$) и скорости трамвая относительно земли ($\vec{v}$):

$\vec{v}_i = \vec{v'}_i + \vec{v}$

Отсюда относительная скорость пешехода $\vec{v'}_i$ выражается как:

$\vec{v'}_i = \vec{v}_i - \vec{v}$

Для проведения вычислений будем использовать проекции векторов на оси координат, как показано на рисунке. Ось OX направлена по движению трамвая, а ось OY — перпендикулярно ему.

Проекции скоростей в системе отсчёта, связанной с землёй:
Скорость трамвая: $v_x = 2,4$ м/с, $v_y = 0$.
Скорость 1-го пешехода: $v_{1x} = 1$ м/с, $v_{1y} = 0$.
Скорость 2-го пешехода: $v_{2x} = -1$ м/с, $v_{2y} = 0$.
Скорость 3-го пешехода: $v_{3x} = 0$, $v_{3y} = 1$ м/с.

Формула для нахождения проекций относительной скорости:
$v'_{ix} = v_{ix} - v_x$
$v'_{iy} = v_{iy} - v_y$

а) Для нахождения модулей скоростей пешеходов относительно трамвая, сначала найдём проекции их относительных скоростей, а затем воспользуемся теоремой Пифагора: $v'_i = \sqrt{(v'_{ix})^2 + (v'_{iy})^2}$.

Для первого пешехода:
$v'_{1x} = 1 - 2,4 = -1,4$ м/с.
$v'_{1y} = 0 - 0 = 0$ м/с.
Модуль скорости: $v'_1 = \sqrt{(-1,4)^2 + 0^2} = 1,4$ м/с.

Для второго пешехода:
$v'_{2x} = -1 - 2,4 = -3,4$ м/с.
$v'_{2y} = 0 - 0 = 0$ м/с.
Модуль скорости: $v'_2 = \sqrt{(-3,4)^2 + 0^2} = 3,4$ м/с.

Для третьего пешехода:
$v'_{3x} = 0 - 2,4 = -2,4$ м/с.
$v'_{3y} = 1 - 0 = 1$ м/с.
Модуль скорости: $v'_3 = \sqrt{(-2,4)^2 + 1^2} = \sqrt{5,76 + 1} = \sqrt{6,76} = 2,6$ м/с.

Ответ: $v'_1 = 1,4$ м/с, $v'_2 = 3,4$ м/с, $v'_3 = 2,6$ м/с.

б) Проекции векторов скоростей пешеходов в системе отсчёта, связанной с трамваем, были вычислены при решении пункта а).

Проекции для первого пешехода: $v'_{1x} = -1,4$ м/с, $v'_{1y} = 0$ м/с.
Проекции для второго пешехода: $v'_{2x} = -3,4$ м/с, $v'_{2y} = 0$ м/с.
Проекции для третьего пешехода: $v'_{3x} = -2,4$ м/с, $v'_{3y} = 1$ м/с.

Ответ: $v'_{1x} = -1,4$ м/с, $v'_{1y} = 0$ м/с; $v'_{2x} = -3,4$ м/с, $v'_{2y} = 0$ м/с; $v'_{3x} = -2,4$ м/с, $v'_{3y} = 1$ м/с.