Страница 32 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

195. Как сравнить массы тел при свободном полёте космического корабля, пользуясь рычажными весами; пружинными весами?

пользуясь рычажными весами

Рычажные весы сравнивают массы тел, уравновешивая силы тяжести, действующие на них. Условие равновесия для весов с равными плечами: $P_1 = P_2$, где $P$ – вес тела. Поскольку вес определяется формулой $P = mg$, равенство весов означает и равенство масс ($m_1 g = m_2 g \Rightarrow m_1 = m_2$).

При свободном полёте космического корабля все находящиеся в нём тела, включая сами весы, пребывают в состоянии невесомости. В этом состоянии вес любого тела равен нулю, так как действующее ускорение свободного падения эффективно обнуляется ($g_{эфф} = 0$). Следовательно, на чаши весов не будет действовать никакая сила, независимо от массы тел на них ($P = m \cdot 0 = 0$). Весы всегда будут находиться в состоянии безразличного равновесия, что делает невозможным сравнение масс.

Ответ: В условиях свободного полёта (невесомости) вес тел равен нулю. Рычажные весы, принцип действия которых основан на сравнении весов, не будут работать. Сравнить с их помощью массы тел невозможно.

пользуясь пружинными весами

Пружинные весы измеряют силу по деформации пружины (закон Гука). Обычно они измеряют вес $P=mg$. В невесомости вес равен нулю, поэтому в статическом состоянии пружина не растянется и измерить массу таким способом не получится.

Однако можно использовать инертные свойства массы. Масса определяет, насколько тело сопротивляется изменению своей скорости. Если прикрепить тело к пружине и заставить его колебаться, то период этих колебаний будет зависеть от массы. Период колебаний $T$ пружинного маятника вычисляется по формуле:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

где $m$ — масса тела, а $k$ — коэффициент жесткости пружины. Чтобы сравнить массы двух тел ($m_1$ и $m_2$), нужно поочередно прикрепить их к одной и той же пружине и измерить периоды их колебаний ($T_1$ и $T_2$). Из формулы видно, что масса пропорциональна квадрату периода ($m \sim T^2$). Отношение масс можно найти как отношение квадратов периодов:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{T_1^2}{T_2^2}$

Таким образом, измерив периоды колебаний, можно сравнить массы тел. Тело с большей массой будет колебаться с большим периодом.

Ответ: С помощью пружинных весов можно сравнить массы, используя их инертные свойства. Для этого необходимо прикрепить тело к пружине, привести его в колебательное движение и измерить период колебаний. Сравнив квадраты периодов колебаний для двух разных тел, можно сравнить их массы.

196. Можно ли в космическом корабле обрабатывать ударом «невесомый» материал «невесомым» молотком? Объяснить.

Решение

Да, в космическом корабле можно обрабатывать ударом «невесомый» материал «невесомым» молотком. Для понимания этого необходимо различать понятия массы и веса.

Слово «невесомый» в данном контексте означает, что объект находится в состоянии невесомости. Невесомость — это состояние, при котором сила взаимодействия тела с опорой (вес) близка к нулю. В космическом корабле на орбите это происходит потому, что и корабль, и все объекты внутри него находятся в состоянии постоянного свободного падения на планету. Однако, несмотря на отсутствие веса, все объекты сохраняют свою массу. Масса — это инертная характеристика тела, мера его способности сопротивляться изменению скорости под действием силы.

Эффективность удара молотком зависит не от его веса, а от его массы ($m$) и скорости ($v$), которую ему сообщают при замахе. Произведение этих величин дает импульс тела: $p = m \cdot v$. Когда молоток ударяет по материалу, его импульс резко изменяется за очень короткий промежуток времени $\Delta t$. Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, это изменение импульса создает значительную силу удара $F$: $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$

Именно эта сила и производит деформацию или иную обработку материала. Поскольку и молоток, и обрабатываемый материал в космосе обладают той же массой, что и на Земле, то придание молотку скорости создаст необходимый импульс для эффективного удара.

Однако существует важная практическая особенность, связанная с третьим законом Ньютона. Если обрабатываемый материал не будет закреплен, то после удара он просто отлетит в сторону. Точно так же и сам космонавт, замахиваясь молотком, будет отталкиваться в противоположную сторону, если не будет зафиксирован. Поэтому для проведения таких работ в космосе необходимо надежно закреплять как обрабатываемый объект (например, в тисках), так и самого космонавта (с помощью специальных упоров для ног и поручней).

Ответ: Да, можно, так как эффективность удара определяется массой и скоростью молотка (его импульсом), а не его весом. В состоянии невесомости объекты сохраняют свою массу. Для успешной обработки необходимо надежно закрепить как сам материал, так и космонавта.

197. Почему тело, подброшенное на Луне, будет во время полёта находиться в состоянии полной невесомости, а на Земле такое тело можно считать невесомым лишь приближённо?

Состояние невесомости — это состояние, в котором на тело действует исключительно сила гравитации. Такое движение называется свободным падением. Вес тела, который определяется как сила его воздействия на опору или подвес, в этом случае становится равным нулю. Ключевое различие между условиями на Луне и на Земле заключается в наличии или отсутствии атмосферы.

На Луне атмосфера практически отсутствует. Поэтому на подброшенное тело во время его полета действует только одна существенная сила — сила гравитационного притяжения Луны. Так как на тело не действуют никакие другие силы, в частности сила сопротивления среды, оно находится в состоянии идеального свободного падения. Это и есть состояние полной невесомости.

На Земле, в отличие от Луны, присутствует плотная атмосфера. Когда тело летит сквозь нее, на него действуют уже две основные силы: сила тяжести $F_{тяж}$, направленная вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха $F_{сопр}$, которая всегда направлена против вектора скорости тела. Из-за наличия этой дополнительной силы $F_{сопр}$ движение тела не является свободным падением в строгом смысле этого слова. Ускорение тела не равно в точности ускорению свободного падения $g$. По этой причине тело, подброшенное на Земле, не может находиться в состоянии полной невесомости. Однако, если скорость тела невелика, а его плотность и форма таковы, что сила сопротивления воздуха оказывается пренебрежимо малой по сравнению с силой тяжести ($F_{сопр} \ll F_{тяж}$), то состояние тела можно считать невесомым, но лишь приближенно.

Ответ: Тело, подброшенное на Луне, находится в состоянии полной невесомости, потому что из-за отсутствия атмосферы на него во время полета действует только сила тяжести. На Земле же из-за наличия атмосферы на летящее тело, помимо силы тяжести, действует сила сопротивления воздуха, поэтому его состояние можно считать невесомым лишь приближенно, пренебрегая этой силой.

198. С какой скоростью автомобиль должен проходить середину выпуклого моста радиусом 40 м, чтобы пассажир на мгновение оказался в состоянии невесомости?

198. Дано:

Радиус выпуклого моста $R = 40$ м.
Ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

Найти:

Скорость автомобиля $v$.

Решение:

Когда автомобиль движется по выпуклому мосту, его траектория в верхней точке представляет собой дугу окружности. На пассажира в этой точке действуют две силы по вертикали: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вниз, и сила нормальной реакции опоры $N$ (со стороны сиденья), направленная вверх.

Равнодействующая этих сил сообщает пассажиру центростремительное ускорение $a_c$, направленное к центру кривизны моста, то есть вертикально вниз. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направив ее вниз:
$F_g - N = m \cdot a_c$

Подставив выражения для сил и центростремительного ускорения ($a_c = \frac{v^2}{R}$), получим:
$mg - N = m \frac{v^2}{R}$

Состояние невесомости, которое испытывает пассажир, означает, что он перестает оказывать давление на опору (сиденье). В этом случае сила нормальной реакции опоры становится равной нулю, то есть $N = 0$.

При условии $N = 0$ уравнение движения принимает вид:
$mg = m \frac{v^2}{R}$

Масса пассажира $m$ в левой и правой частях уравнения сокращается:
$g = \frac{v^2}{R}$

Из этого соотношения выразим искомую скорость $v$:
$v^2 = gR$
$v = \sqrt{gR}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:
$v = \sqrt{10 \, \text{м/с}^2 \cdot 40 \, \text{м}} = \sqrt{400 \, \text{м}^2/\text{с}^2} = 20 \, \text{м/с}$

Ответ: чтобы пассажир на мгновение оказался в состоянии невесомости, автомобиль должен проходить середину моста со скоростью 20 м/с.

199. Измерить (или приблизительно оценить) расстояние от вытянутой горизонтально руки до пола. Вычислить время падения выпущенного из руки предмета и его скорость при ударе о пол.

Измерить (или приблизительно оценить) расстояние от вытянутой горизонтально руки до пола.

Поскольку задача предполагает проведение реального измерения, а мы решаем ее теоретически, необходимо принять некоторое оценочное значение для высоты. Для человека среднего роста (например, 175–180 см), стоящего прямо, вытянутая горизонтально рука будет находиться на высоте примерно 1.5 метра от пола. Будем использовать это значение для последующих расчетов.

Ответ: Примем расстояние от вытянутой руки до пола равным $h = 1.5$ м.

Вычислить время падения выпущенного из руки предмета и его скорость при ударе о пол.

Для вычислений воспользуемся моделью свободного падения, пренебрегая сопротивлением воздуха.

Дано:

Высота падения: $h = 1.5$ м
Начальная скорость: $v_0 = 0$ м/с
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

Время падения $t$ — ?
Скорость при ударе о пол $v$ — ?

Решение:

Падение предмета является свободным падением, которое представляет собой равноускоренное движение с ускорением $g$ и нулевой начальной скоростью (поскольку предмет выпускают из состояния покоя).

1. Найдем время падения $t$. Для этого используем формулу для высоты при равноускоренном движении: $$h = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$$ Так как начальная скорость $v_0 = 0$, формула упрощается: $$h = \frac{gt^2}{2}$$ Выразим из этой формулы время падения $t$: $$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$ Подставим числовые значения: $$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 1.5 \, \text{м}}{9.8 \, \text{м/с}^2}} \approx \sqrt{0.3061 \, \text{с}^2} \approx 0.55 \, \text{с}$$

2. Найдем скорость предмета $v$ в момент удара о пол. Можно использовать два способа.

Способ А: через время падения. $$v = v_0 + gt$$ Так как $v_0 = 0$: $$v = gt$$ Подставим найденное значение времени: $$v \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 0.55 \, \text{с} \approx 5.39 \, \text{м/с}$$

Способ Б: через высоту падения (этот способ точнее, так как не использует округленное значение времени). Из формулы $v^2 = v_0^2 + 2gh$, при $v_0 = 0$ получаем: $$v = \sqrt{2gh}$$ Подставим исходные данные: $$v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 1.5 \, \text{м}} = \sqrt{29.4} \, \text{м/с} \approx 5.42 \, \text{м/с}$$

Ответ: Время падения предмета с высоты 1.5 м составляет примерно $0.55$ с, а его скорость при ударе о пол — примерно $5.42$ м/с.

200. Найти ускорение свободного падения шарика по рисунку 31, сделанному со стробоскопической фотографии. Интервал между снимками 0,1 с, а сторона каждого квадрата сетки на фотографии в натуральную величину равна 5 см.

Рис. 31

Дано:

Интервал времени между снимками, $\Delta t = 0,1$ с

Сторона квадрата сетки, $L = 5$ см

Перевод в систему СИ:

$L = 5 \text{ см} = 0,05 \text{ м}$

Найти:

Ускорение свободного падения, $g$

Решение:

На стробоскопической фотографии показаны положения падающего шарика через равные промежутки времени $\Delta t$. Движение шарика является равноускоренным, и так как это свободное падение, его ускорение равно $g$.

Введем ось координат $OY$, направленную вертикально вниз. За начало отсчета ($y=0$) и начальный момент времени ($t=0$) примем положение центра самого верхнего шарика на рисунке. Из рисунка видно, что начальная скорость шарика равна нулю ($v_0 = 0$), так как соотношение путей, пройденных за последовательные равные промежутки времени, соответствует движению из состояния покоя.

Определим координаты центра шарика в последующие моменты времени $t_n = n \cdot \Delta t$, измеряя расстояние от начального положения в клетках сетки (где 1 клетка = $L$):

При $t_0 = 0 \text{ с}$, положение шарика $y_0 = 0$.
При $t_1 = 1 \cdot 0,1 = 0,1 \text{ с}$, шарик сместился на 1 клетку. Его координата $y_1 = 1 \cdot L$.
При $t_2 = 2 \cdot 0,1 = 0,2 \text{ с}$, шарик находится на 4 клетки ниже начального положения. Его координата $y_2 = 4 \cdot L$.
При $t_3 = 3 \cdot 0,1 = 0,3 \text{ с}$, шарик находится на 9 клеток ниже начального положения. Его координата $y_3 = 9 \cdot L$.
При $t_4 = 4 \cdot 0,1 = 0,4 \text{ с}$, шарик находится на 16 клеток ниже начального положения. Его координата $y_4 = 16 \cdot L$.

Зависимость координаты от времени при равноускоренном движении из состояния покоя ($v_0=0$) описывается формулой:

$y(t) = \frac{gt^2}{2}$

Применим эту формулу для момента времени $t_1 = \Delta t$. В этот момент координата шарика $y_1 = L$.

$y_1 = \frac{g t_1^2}{2}$

Подставляя известные нам обозначения, получаем:

$L = \frac{g (\Delta t)^2}{2}$

Из этого уравнения выразим искомое ускорение свободного падения $g$:

$g = \frac{2L}{(\Delta t)^2}$

Теперь подставим числовые значения в СИ и произведем расчет:

$g = \frac{2 \cdot 0,05 \text{ м}}{(0,1 \text{ с})^2} = \frac{0,1 \text{ м}}{0,01 \text{ с}^2} = 10 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение свободного падения шарика равно $10 \text{ м/с}^2$.

201. При свободном падении первое тело находилось в полёте в 2 раза больше времени, чем второе. Сравнить конечные скорости тел и их перемещения.

Дано:

Свободное падение двух тел.

Начальная скорость первого тела $v_{01} = 0 \text{ м/с}$

Начальная скорость второго тела $v_{02} = 0 \text{ м/с}$

Ускорение обоих тел равно ускорению свободного падения $g$.

Время полета первого тела — $t_1$.

Время полета второго тела — $t_2$.

Соотношение времен полета: $\frac{t_1}{t_2} = 2$.

Найти:

1. Сравнить конечные скорости: найти отношение $\frac{v_1}{v_2}$.

2. Сравнить перемещения: найти отношение $\frac{s_1}{s_2}$.

Решение:

Свободное падение является частным случаем равноускоренного движения. Так как тела падают свободно, их начальная скорость равна нулю ($v_0 = 0$), а ускорение равно ускорению свободного падения ($a=g$).

Сравнение конечных скоростей тел

Конечная скорость при равноускоренном движении без начальной скорости вычисляется по формуле:

$v = gt$

Для первого тела конечная скорость будет:

$v_1 = g t_1$

Для второго тела:

$v_2 = g t_2$

Для сравнения скоростей найдем их отношение:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{g t_1}{g t_2} = \frac{t_1}{t_2}$

Из условия задачи известно, что $t_1$ в 2 раза больше $t_2$, то есть $\frac{t_1}{t_2} = 2$.

Следовательно:

$\frac{v_1}{v_2} = 2$

Ответ: Конечная скорость первого тела в 2 раза больше конечной скорости второго тела.

Сравнение перемещений тел

Перемещение (пройденный путь) при свободном падении без начальной скорости вычисляется по формуле:

$s = \frac{gt^2}{2}$

Для первого тела перемещение составит:

$s_1 = \frac{g t_1^2}{2}$

Для второго тела:

$s_2 = \frac{g t_2^2}{2}$

Для сравнения перемещений найдем их отношение:

$\frac{s_1}{s_2} = \frac{\frac{g t_1^2}{2}}{\frac{g t_2^2}{2}} = \frac{t_1^2}{t_2^2} = \left(\frac{t_1}{t_2}\right)^2$

Подставим известное нам соотношение времен $\frac{t_1}{t_2} = 2$:

$\frac{s_1}{s_2} = 2^2 = 4$

Ответ: Перемещение первого тела в 4 раза больше перемещения второго тела.

202. Г. Галилей, изучая законы свободного падения (1589 г.), бросал без начальной скорости разные предметы с наклонной башни в городе Пиза, высота которой 57,5 м. Сколько времени падали предметы с этой башни и какова их скорость при ударе о землю?

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 0$ м/с

Высота $h = 57,5$ м

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Время падения $t$

Скорость при ударе о землю $v$

Решение:

Сколько времени падали предметы с этой башни

Падение тел без начальной скорости является равноускоренным движением. Путь, пройденный телом (в данном случае высота башни $h$), определяется по формуле: $h = \frac{gt^2}{2}$.

Из этой формулы выразим время падения $t$:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим числовые значения:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 57,5 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{115}{9,8}} \text{ с} \approx 3,43 \text{ с}$

Ответ: 3,43 с.

какова их скорость при ударе о землю

Скорость тела в конце падения можно найти, используя формулу, не зависящую от времени: $v^2 = v_0^2 + 2gh$. Так как начальная скорость $v_0 = 0$, формула упрощается до $v^2 = 2gh$, откуда:

$v = \sqrt{2gh}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 57,5 \text{ м}} = \sqrt{1127} \text{ м/с} \approx 33,57 \text{ м/с}$

Ответ: 33,57 м/с.