Номер 174, страница 29 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

174. Среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке отрезка, соединяющего центры Земли и Луны, тело будет притягиваться ими с одинаковой силой?

Дано:

Расстояние между центрами Земли и Луны $R = 60 R_З$, где $R_З$ - радиус Земли.
Соотношение масс Земли и Луны $M_З = 81 M_Л$, где $M_З$ - масса Земли, $M_Л$ - масса Луны.
Сила притяжения тела к Земле $F_З$ равна силе притяжения к Луне $F_Л$.

Найти:

Расстояние $x$ от центра Земли до точки, в которой силы притяжения со стороны Земли и Луны равны.

Решение:

Пусть $m$ - масса тела, находящегося на отрезке, соединяющем центры Земли и Луны. Обозначим искомое расстояние от центра Земли до этого тела как $x$. Тогда расстояние от центра Луны до тела будет равно $R - x$.

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения тела к Земле ($F_З$) и к Луне ($F_Л$) выражаются формулами:

$F_З = G \frac{M_З \cdot m}{x^2}$

$F_Л = G \frac{M_Л \cdot m}{(R - x)^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная.

По условию задачи, эти силы равны:

$F_З = F_Л$

Подставим выражения для сил в это равенство:

$G \frac{M_З \cdot m}{x^2} = G \frac{M_Л \cdot m}{(R - x)^2}$

Сократим в уравнении одинаковые множители $G$ и $m$:

$\frac{M_З}{x^2} = \frac{M_Л}{(R - x)^2}$

Теперь подставим известные из условия соотношения: $M_З = 81 M_Л$ и $R = 60 R_З$.

$\frac{81 M_Л}{x^2} = \frac{M_Л}{(60 R_З - x)^2}$

Сократим массу Луны $M_Л$:

$\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(60 R_З - x)^2}$

Чтобы решить это уравнение, извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как расстояния $x$ и $(60 R_З - x)$ по смыслу задачи должны быть положительными, мы рассматриваем только положительные значения корней:

$\sqrt{\frac{81}{x^2}} = \sqrt{\frac{1}{(60 R_З - x)^2}}$

$\frac{9}{x} = \frac{1}{60 R_З - x}$

Решим полученное уравнение относительно $x$ с помощью перекрестного умножения:

$9 \cdot (60 R_З - x) = x$

$540 R_З - 9x = x$

$540 R_З = 10x$

$x = \frac{540 R_З}{10} = 54 R_З$

Таким образом, точка, в которой силы притяжения со стороны Земли и Луны уравновешиваются, находится на расстоянии 54 земных радиусов от центра Земли.

Ответ: Тело будет притягиваться к Земле и Луне с одинаковой силой в точке на отрезке, соединяющем их центры, на расстоянии 54 земных радиусов от центра Земли.