Номер 91, страница 19 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

91. Скорость точек рабочей поверхности наждачного круга диаметром 300 мм не должна превышать 35 м/с. Допустима ли посадка круга на вал электродвигателя, совершающего 1400 об/мин; 2800 об/мин?

Дано:

Диаметр наждачного круга $D = 300$ мм
Максимально допустимая скорость $v_{max} = 35$ м/с
Частота вращения вала 1: $n_1 = 1400$ об/мин
Частота вращения вала 2: $n_2 = 2800$ об/мин

Переведем единицы в систему СИ:
$D = 300 \text{ мм} = 0.3 \text{ м}$
$n_1 = 1400 \frac{\text{об}}{\text{мин}} = \frac{1400}{60} \frac{\text{об}}{\text{с}} \approx 23.33 \text{ об/с (Гц)}$
$n_2 = 2800 \frac{\text{об}}{\text{мин}} = \frac{2800}{60} \frac{\text{об}}{\text{с}} \approx 46.67 \text{ об/с (Гц)}$

Найти:

Допустима ли посадка круга на вал электродвигателя для каждой из заданных частот вращения.

Решение:

Чтобы определить, допустима ли установка круга, нужно вычислить линейную скорость точек на его рабочей поверхности (окружности) и сравнить её с максимально допустимым значением $v_{max}$. Линейная скорость $v$ связана с диаметром круга $D$ и частотой его вращения $n$ (в оборотах в секунду) следующей формулой:

$v = \pi \cdot D \cdot n$

Проверим оба случая, заданные в условии задачи.

1400 об/мин

Рассчитаем линейную скорость $v_1$ для частоты вращения $n_1$:

$v_1 = \pi \cdot D \cdot n_1 = \pi \cdot 0.3 \text{ м} \cdot \frac{1400}{60} \frac{\text{об}}{\text{с}} = 7\pi \text{ м/с} \approx 21.99 \text{ м/с}$

Теперь сравним полученную скорость с максимально допустимой:

$21.99 \text{ м/с} < 35 \text{ м/с}$

Поскольку фактическая скорость точек на поверхности круга меньше предельно допустимой, такая установка является безопасной.

Ответ: посадка круга на вал с частотой вращения 1400 об/мин допустима.

2800 об/мин

Рассчитаем линейную скорость $v_2$ для частоты вращения $n_2$:

$v_2 = \pi \cdot D \cdot n_2 = \pi \cdot 0.3 \text{ м} \cdot \frac{2800}{60} \frac{\text{об}}{\text{с}} = 14\pi \text{ м/с} \approx 43.98 \text{ м/с}$

Теперь сравним полученную скорость с максимально допустимой:

$43.98 \text{ м/с} > 35 \text{ м/с}$

Поскольку фактическая скорость точек на поверхности круга превышает предельно допустимую, такая установка опасна и может привести к разрушению наждачного круга.

Ответ: посадка круга на вал с частотой вращения 2800 об/мин недопустима.