Номер 88, страница 19 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

88*. Движения двух мотоциклистов заданы уравнениями $x_1 = 15 + t^2$ и $x_2 = 8t$. Описать движение каждого мотоциклиста; найти время и место их встречи.

Дано:

Уравнение движения первого мотоциклиста: $x_1(t) = 15 + t^2$

Уравнение движения второго мотоциклиста: $x_2(t) = 8t$

Все величины представлены в единицах СИ: координата $x$ в метрах (м), время $t$ в секундах (с).

Найти:

Описать движение каждого мотоциклиста; найти время $t_{встр}$ и место $x_{встр}$ их встречи.

Решение:

Описать движение каждого мотоциклиста

Для описания движения необходимо проанализировать каждое уравнение, сравнив его с общим видом уравнения равноускоренного прямолинейного движения: $x(t) = x_0 + v_{0}t + \frac{at^2}{2}$, где $x_0$ — начальная координата, $v_0$ — начальная скорость, $a$ — ускорение.

Первый мотоциклист:

Уравнение движения $x_1(t) = 15 + t^2$. Сравнивая его с общей формулой, определяем параметры движения: начальная координата $x_{01} = 15$ м; начальная скорость $v_{01} = 0$ м/с (поскольку в уравнении отсутствует член, содержащий $t$ в первой степени); ускорение $a_1$ находим из соотношения $\frac{a_1t^2}{2} = t^2$, откуда $\frac{a_1}{2} = 1$, следовательно, $a_1 = 2$ м/с². Это означает, что первый мотоциклист начинает движение из точки с координатой 15 м из состояния покоя и движется равноускоренно с постоянным ускорением 2 м/с² в положительном направлении оси $x$.

Второй мотоциклист:

Уравнение движения $x_2(t) = 8t$. Сравнивая его с общей формулой, определяем: начальная координата $x_{02} = 0$ м (свободный член в уравнении отсутствует); начальная скорость $v_{02} = 8$ м/с; ускорение $a_2 = 0$ м/с² (член с $t^2$ отсутствует). Это означает, что второй мотоциклист начинает движение из начала координат и движется равномерно и прямолинейно (с постоянной скоростью) 8 м/с в положительном направлении оси $x$.

Ответ: Первый мотоциклист движется из точки с координатой $x_{01} = 15$ м равноускоренно без начальной скорости ($v_{01} = 0$ м/с) с ускорением $a_1 = 2$ м/с². Второй мотоциклист движется из начала координат ($x_{02} = 0$ м) равномерно и прямолинейно со скоростью $v_2 = 8$ м/с.

найти время и место их встречи

Встреча мотоциклистов произойдет в тот момент времени $t$, когда их координаты будут одинаковы, то есть $x_1(t) = x_2(t)$.

Приравняем правые части уравнений движения:

$15 + t^2 = 8t$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 8t + 15 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и 5. Таким образом, мы имеем два момента времени встречи:

$t_1 = 3$ с

$t_2 = 5$ с

Оба корня положительны, что означает, что мотоциклисты встретятся дважды. Первая встреча произойдет, когда второй мотоциклист догонит первого. Вторая — когда первый мотоциклист, двигаясь с ускорением, догонит и перегонит второго.

Теперь найдем координаты, в которых произойдут встречи. Для этого подставим полученные значения времени в любое из уравнений движения. Проще использовать уравнение второго мотоциклиста $x_2 = 8t$.

При $t_1 = 3$ с, место встречи:

$x_{встр1} = 8 \cdot 3 = 24$ м

При $t_2 = 5$ с, место встречи:

$x_{встр2} = 8 \cdot 5 = 40$ м

Для проверки можно подставить эти же значения времени в уравнение первого мотоциклиста:

$x_1(3) = 15 + 3^2 = 15 + 9 = 24$ м

$x_1(5) = 15 + 5^2 = 15 + 25 = 40$ м

Результаты совпадают.

Ответ: Мотоциклисты встретятся дважды: первый раз через 3 с после начала движения в точке с координатой 24 м, второй раз — через 5 с в точке с координатой 40 м.