Номер 83, страница 18 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

83. Мальчик съехал на санках с горы длиной $40 \text{ м}$ за $10 \text{ с}$, а затем проехал по горизонтальному участку ещё $20 \text{ м}$ до остановки. Найти скорость в конце горы, ускорения на каждом из участков, общее время движения и среднюю скорость на всём пути. Начертить график скорости.

Дано:

Длина первого участка (спуск с горы), $s_1 = 40$ м
Время движения на первом участке, $t_1 = 10$ с
Длина второго участка (горизонтальный), $s_2 = 20$ м
Начальная скорость на первом участке, $v_{01} = 0$ м/с (мальчик начинает движение)
Конечная скорость на втором участке, $v_{k2} = 0$ м/с (мальчик остановился)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_1$ - скорость в конце горы
$a_1, a_2$ - ускорения на каждом из участков
$t_{общ}$ - общее время движения
$v_{ср}$ - среднюю скорость на всём пути

Решение:

Разобьем движение на два этапа: спуск с горы и движение по горизонтальному участку.

1. Движение с горы (участок 1)

Движение с горы является равноускоренным, так как мальчик начинает движение из состояния покоя ($v_{01} = 0$). Путь, пройденный при равноускоренном движении, определяется формулой: $s_1 = v_{01}t_1 + \frac{a_1 t_1^2}{2}$

Так как $v_{01} = 0$, формула упрощается: $s_1 = \frac{a_1 t_1^2}{2}$

Из этой формулы выразим и найдем ускорение на первом участке ($a_1$): $a_1 = \frac{2s_1}{t_1^2} = \frac{2 \cdot 40 \text{ м}}{(10 \text{ с})^2} = \frac{80}{100} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 0.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Теперь найдем скорость в конце горы ($v_1$), которая является конечной скоростью для первого участка. $v_1 = v_{01} + a_1 t_1 = 0 + 0.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 10 \text{ с} = 8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

2. Движение по горизонтальному участку (участок 2)

Начальная скорость на этом участке ($v_{02}$) равна скорости в конце горы: $v_{02} = v_1 = 8$ м/с. Конечная скорость $v_{k2} = 0$. Движение является равнозамедленным.

Для нахождения ускорения ($a_2$) воспользуемся формулой, не содержащей времени: $s_2 = \frac{v_{k2}^2 - v_{02}^2}{2a_2}$

Выразим и найдем $a_2$: $a_2 = \frac{v_{k2}^2 - v_{02}^2}{2s_2} = \frac{0^2 - (8 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2 \cdot 20 \text{ м}} = \frac{-64}{40} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = -1.6 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$
Знак "минус" указывает на то, что движение равнозамедленное, то есть вектор ускорения направлен против вектора скорости.

Найдем время движения на втором участке ($t_2$): $v_{k2} = v_{02} + a_2 t_2$
$t_2 = \frac{v_{k2} - v_{02}}{a_2} = \frac{0 - 8 \frac{\text{м}}{\text{с}}}{-1.6 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = 5 \text{ с}$

3. Расчет общих величин

Общее время движения ($t_{общ}$) равно сумме времен на двух участках: $t_{общ} = t_1 + t_2 = 10 \text{ с} + 5 \text{ с} = 15 \text{ с}$

Общий путь ($s_{общ}$) равен сумме путей на двух участках: $s_{общ} = s_1 + s_2 = 40 \text{ м} + 20 \text{ м} = 60 \text{ м}$

Средняя скорость на всём пути ($v_{ср}$) вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения: $v_{ср} = \frac{s_{общ}}{t_{общ}} = \frac{60 \text{ м}}{15 \text{ с}} = 4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Скорость в конце горы

Скорость в конце горы равна конечной скорости на первом участке движения.
$v_1 = a_1 t_1 = 0.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 10 \text{ с} = 8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: скорость в конце горы равна 8 м/с.

Ускорения на каждом из участков

Ускорение на первом участке (спуск с горы): $a_1 = 0.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.
Ускорение на втором участке (горизонтальный): $a_2 = -1.6 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Ответ: ускорение на первом участке $0.8$ м/с², на втором участке $-1.6$ м/с².

Общее время движения

Общее время движения складывается из времени движения на первом и втором участках.
$t_{общ} = t_1 + t_2 = 10 \text{ с} + 5 \text{ с} = 15 \text{ с}$

Ответ: общее время движения равно 15 с.

Средняя скорость на всём пути

Средняя скорость равна отношению общего пути к общему времени.
$v_{ср} = \frac{s_{общ}}{t_{общ}} = \frac{40 \text{ м} + 20 \text{ м}}{10 \text{ с} + 5 \text{ с}} = \frac{60 \text{ м}}{15 \text{ с}} = 4 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: средняя скорость на всём пути равна 4 м/с.

Начертить график скорости

График зависимости скорости от времени $v(t)$ будет состоять из двух отрезков прямых линий.

1. Ось абсцисс — время $t$ в секундах (с), ось ординат — скорость $v$ в метрах в секунду (м/с).
2. Первый участок (от $t=0$ до $t=10$ с): Равноускоренное движение. График — прямая линия, выходящая из начала координат (точка (0; 0)) и идущая вверх до точки (10; 8), так как за 10 секунд скорость достигла 8 м/с.
3. Второй участок (от $t=10$ до $t=15$ с): Равнозамедленное движение. График — прямая линия, идущая вниз от точки (10; 8) до точки (15; 0), так как за следующие 5 секунд (общее время 15 с) скорость упала до нуля.

Таким образом, график представляет собой ломаную линию, образующую треугольник с вершинами в точках (0; 0), (10; 8) и (15; 0).

Ответ: график скорости представляет собой ломаную линию, поднимающуюся от $v=0$ до $v=8$ м/с за первые 10 с, а затем опускающуюся до $v=0$ за следующие 5 с.