Номер 84, страница 18 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

84. Велосипедист начал своё движение из состояния покоя и в течение первых 4 с двигался с ускорением $1 \text{ м}/\text{с}^2$; затем в течение 0,1 мин он двигался равномерно и последние 20 м — равнозамедленно до остановки. Найти среднюю скорость за всё время движения. Построить график зависимости $v_x(t)$.

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 0$ м/с
Время первого участка $t_1 = 4$ с
Ускорение на первом участке $a_1 = 1$ м/с²
Время второго участка $t_2 = 0,1$ мин
Путь на третьем участке $s_3 = 20$ м
Конечная скорость $v_k = 0$ м/с

Перевод в СИ:

$t_2 = 0,1 \text{ мин} = 0,1 \cdot 60 \text{ с} = 6 \text{ с}$

Найти:

$v_{ср}$ — среднюю скорость за всё время движения.

График зависимости $v_x(t)$.

Решение:

Движение велосипедиста состоит из трех этапов. Для нахождения средней скорости необходимо найти общий путь и общее время движения.

1. Нахождение средней скорости за всё время движения

Средняя скорость определяется по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$.

Рассмотрим каждый этап движения отдельно.

Этап 1: Равноускоренное движение.

Велосипедист движется из состояния покоя ($v_{0,1} = 0$) с ускорением $a_1 = 1$ м/с² в течение времени $t_1 = 4$ с.
Скорость в конце первого этапа:
$v_1 = v_{0,1} + a_1 t_1 = 0 + 1 \cdot 4 = 4$ м/с.
Путь, пройденный на первом этапе:
$s_1 = v_{0,1} t_1 + \frac{a_1 t_1^2}{2} = 0 \cdot 4 + \frac{1 \cdot 4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$ м.

Этап 2: Равномерное движение.

Велосипедист движется с постоянной скоростью, равной скорости в конце первого этапа: $v_2 = v_1 = 4$ м/с.
Продолжительность этого этапа $t_2 = 6$ с.
Путь, пройденный на втором этапе:
$s_2 = v_2 t_2 = 4 \cdot 6 = 24$ м.

Этап 3: Равнозамедленное движение.

Велосипедист замедляется до полной остановки ($v_{k,3} = 0$). Начальная скорость на этом этапе равна скорости на втором: $v_{0,3} = v_2 = 4$ м/с. Пройденный путь $s_3 = 20$ м.
Найдем время движения на третьем этапе $t_3$ по формуле пути при равнопеременном движении: $s = \frac{v_{начальная} + v_{конечная}}{2} \cdot t$.
$t_3 = \frac{2 s_3}{v_{0,3} + v_{k,3}} = \frac{2 \cdot 20}{4 + 0} = \frac{40}{4} = 10$ с.

Вычисление средней скорости.

Общий пройденный путь:
$S_{общ} = s_1 + s_2 + s_3 = 8 \text{ м} + 24 \text{ м} + 20 \text{ м} = 52$ м.
Общее время движения:
$t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = 4 \text{ с} + 6 \text{ с} + 10 \text{ с} = 20$ с.
Средняя скорость за всё время движения:
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{52 \text{ м}}{20 \text{ с}} = 2,6$ м/с.

Ответ: средняя скорость за всё время движения составляет 2,6 м/с.

2. Построение графика зависимости v_x(t)

График зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ будет состоять из трех отрезков прямых, соответствующих трем этапам движения.

• Для $t \in [0; 4]$ с: равноускоренное движение. График — отрезок прямой, выходящий из начала координат. Скорость изменяется от $v_x(0) = 0$ м/с до $v_x(4) = 4$ м/с. Ключевые точки: (0; 0) и (4; 4).
• Для $t \in (4; 10]$ с: равномерное движение. Этот этап длится 6 с, т.е. до момента времени $4+6=10$ с. Скорость постоянна $v_x(t) = 4$ м/с. График — горизонтальный отрезок. Ключевые точки: (4; 4) и (10; 4).
• Для $t \in (10; 20]$ с: равнозамедленное движение. Этот этап длится 10 с, т.е. до момента времени $10+10=20$ с. Скорость линейно уменьшается от 4 м/с до 0. График — отрезок прямой с отрицательным наклоном. Ключевые точки: (10; 4) и (20; 0).

График представляет собой трапецию с вершинами в точках с координатами $(t, v_x)$: (0, 0), (4, 4), (10, 4) и (20, 0).

Ответ: график зависимости $v_x(t)$ — это ломаная линия, последовательно соединяющая точки (0; 0), (4; 4), (10; 4) и (20; 0) в системе координат, где по оси абсцисс отложено время $t$ в секундах, а по оси ординат — скорость $v_x$ в м/с.