Номер 87, страница 18 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

87. В момент начала наблюдения расстояние между двумя телами равно 6,9 м. Первое тело движется из состояния покоя с ускорением 0,2 м/с². Второе движется вслед за ним, имея начальную скорость 2 м/с и ускорение 0,4 м/с². Написать уравнения $x = x(t)$ в системе отсчёта, в которой при $t = 0$ координаты тел принимают значения, соответственно равные $x_1 = 6,9$ м, $x_2 = 0$. Найти время и место встречи тел.

Дано:

Первое тело:
начальная координата $x_{01} = 6,9$ м
начальная скорость $v_{01} = 0$ м/с (движется из состояния покоя)
ускорение $a_1 = 0,2$ м/с²

Второе тело:
начальная координата $x_{02} = 0$ м
начальная скорость $v_{02} = 2$ м/с
ускорение $a_2 = 0,4$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Уравнения движения $x_1(t)$ и $x_2(t)$.

2. Время встречи $t_{встр}$.

3. Место встречи $x_{встр}$.

Решение:

Общий вид уравнения для равноускоренного прямолинейного движения:$x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$, где $x_0$ — начальная координата, $v_0$ — начальная скорость, $a$ — ускорение, $t$ — время.

1. Уравнения движения $x = x(t)$

Подставим данные для первого тела в общее уравнение движения:
$x_1(t) = x_{01} + v_{01}t + \frac{a_1 t^2}{2} = 6,9 + 0 \cdot t + \frac{0,2 \cdot t^2}{2}$
$x_1(t) = 6,9 + 0,1t^2$

Подставим данные для второго тела в общее уравнение движения:
$x_2(t) = x_{02} + v_{02}t + \frac{a_2 t^2}{2} = 0 + 2 \cdot t + \frac{0,4 \cdot t^2}{2}$
$x_2(t) = 2t + 0,2t^2$

Ответ:Уравнения движения тел: $x_1(t) = 6,9 + 0,1t^2$; $x_2(t) = 2t + 0,2t^2$.

2. Время и место встречи тел

В момент встречи координаты тел равны: $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$.
Приравняем полученные уравнения:
$6,9 + 0,1t^2 = 2t + 0,2t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$0,2t^2 - 0,1t^2 + 2t - 6,9 = 0$
$0,1t^2 + 2t - 6,9 = 0$

Для удобства решения умножим все уравнение на 10:
$t^2 + 20t - 69 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-69) = 400 + 276 = 676$
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

Найдем корни уравнения:
$t_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + 26}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$ (с)
$t_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - 26}{2 \cdot 1} = \frac{-46}{2} = -23$ (с)

Так как время не может быть отрицательным, физический смысл имеет только первый корень: $t_{встр} = 3$ с.

Теперь найдем координату (место) встречи, подставив найденное время в любое из уравнений движения. Подставим в уравнение для второго тела:
$x_{встр} = x_2(3) = 2 \cdot 3 + 0,2 \cdot 3^2 = 6 + 0,2 \cdot 9 = 6 + 1,8 = 7,8$ м.

Для проверки подставим время в уравнение для первого тела:
$x_{встр} = x_1(3) = 6,9 + 0,1 \cdot 3^2 = 6,9 + 0,1 \cdot 9 = 6,9 + 0,9 = 7,8$ м.
Результаты совпадают.

Ответ:Время встречи тел равно 3 с, место встречи — на координате 7,8 м.