Номер 81, страница 18 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

81. Движения четырёх материальных точек заданы следующими уравнениями соответственно: $x_1 = 10t + 0.4t^2$; $x_2 = 2t - t^2$; $x_3 = -4t + 2t^2$; $x_4 = -t - 6t^2$.

Написать уравнение $v_x = v_x(t)$ для каждой точки; построить графики этих зависимостей; описать движение каждой точки.

Дано:

Уравнения движения четырех материальных точек:

$x_1 = 10t + 0.4t^2$

$x_2 = 2t - t^2$

$x_3 = -4t + 2t^2$

$x_4 = -t - 6t^2$

Все величины в уравнениях представлены в системе СИ (координата $x$ в метрах, время $t$ в секундах).

Найти:

Для каждой точки: написать уравнение скорости $v_x(t)$, построить график $v_x(t)$, описать движение.

Решение:

Все движения являются равноускоренными, так как координата зависит от времени квадратично. Общий вид уравнения равноускоренного движения: $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$. Скорость находится как первая производная координаты по времени: $v_x(t) = \frac{dx}{dt} = v_{0x} + a_x t$.

Написать уравнение $v_x = v_x(t)$ для каждой точки

Для нахождения уравнений скорости продифференцируем каждое уравнение координаты по времени $t$.
1. Первая точка: $v_{1x}(t) = \frac{d}{dt}(10t + 0.4t^2) = 10 + 0.8t$.
2. Вторая точка: $v_{2x}(t) = \frac{d}{dt}(2t - t^2) = 2 - 2t$.
3. Третья точка: $v_{3x}(t) = \frac{d}{dt}(-4t + 2t^2) = -4 + 4t$.
4. Четвертая точка: $v_{4x}(t) = \frac{d}{dt}(-t - 6t^2) = -1 - 12t$.

Ответ: Уравнения скоростей для точек соответственно: $v_{1x}(t) = 10 + 0.8t$; $v_{2x}(t) = 2 - 2t$; $v_{3x}(t) = -4 + 4t$; $v_{4x}(t) = -1 - 12t$.

Описать движение каждой точки

Для описания движения определим начальные параметры (координату $x_0$, скорость $v_{0x}$) и ускорение $a_x$ для каждой точки, сравнив ее уравнение с общей формулой.

1. Первая точка ($x_1 = 10t + 0.4t^2$):
Начальная координата $x_{01} = 0$ м. Начальная скорость $v_{0x1} = 10$ м/с. Ускорение $a_{x1}/2 = 0.4 \implies a_{x1} = 0.8$ м/с$^2$. Поскольку начальная скорость и ускорение положительны ($v_{0x1} > 0, a_{x1} > 0$), точка движется из начала координат равноускоренно в положительном направлении оси $Ox$.

2. Вторая точка ($x_2 = 2t - t^2$):
Начальная координата $x_{02} = 0$ м. Начальная скорость $v_{0x2} = 2$ м/с. Ускорение $a_{x2}/2 = -1 \implies a_{x2} = -2$ м/с$^2$. Начальная скорость положительна, а ускорение отрицательно ($v_{0x2} > 0, a_{x2} < 0$). Точка движется из начала координат равнозамедленно в положительном направлении оси $Ox$. В момент времени $t$, когда скорость станет равной нулю ($v_{2x}(t) = 2 - 2t = 0 \implies t=1$ с), точка остановится и начнет равноускоренное движение в отрицательном направлении.

3. Третья точка ($x_3 = -4t + 2t^2$):
Начальная координата $x_{03} = 0$ м. Начальная скорость $v_{0x3} = -4$ м/с. Ускорение $a_{x3}/2 = 2 \implies a_{x3} = 4$ м/с$^2$. Начальная скорость отрицательна, а ускорение положительно ($v_{0x3} < 0, a_{x3} > 0$). Точка движется из начала координат равнозамедленно в отрицательном направлении оси $Ox$. В момент времени $t=1$ с ($v_{3x}(t) = -4 + 4t = 0$), точка остановится и начнет равноускоренное движение в положительном направлении.

4. Четвертая точка ($x_4 = -t - 6t^2$):
Начальная координата $x_{04} = 0$ м. Начальная скорость $v_{0x4} = -1$ м/с. Ускорение $a_{x4}/2 = -6 \implies a_{x4} = -12$ м/с$^2$. Начальная скорость и ускорение отрицательны ($v_{0x4} < 0, a_{x4} < 0$). Точка движется из начала координат равноускоренно в отрицательном направлении оси $Ox$.

Ответ: 1) Равноускоренное движение в положительном направлении. 2) Равнозамедленное движение в положительном направлении до $t=1$ с, затем равноускоренное в отрицательном. 3) Равнозамедленное движение в отрицательном направлении до $t=1$ с, затем равноускоренное в положительном. 4) Равноускоренное движение в отрицательном направлении.

Построить графики этих зависимостей

Все зависимости скорости от времени $v_x(t)$ являются линейными, поэтому их графики — прямые линии. Построим все четыре графика в одной системе координат $v_x(t)$.

Легенда к графику:
━ Синяя линия: $v_{1x}(t) = 10 + 0.8t$
━ Красная линия: $v_{2x}(t) = 2 - 2t$
━ Зеленая линия: $v_{3x}(t) = -4 + 4t$
━ Фиолетовая линия: $v_{4x}(t) = -1 - 12t$

Ответ: Графики зависимостей скорости от времени для четырех точек представлены на рисунке выше.