Номер 75, страница 17 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

75. Уравнение движения материальной точки имеет вид $x = 0.4t^2$. Написать формулу зависимости $v_x(t)$ и построить график. Показать на графике штриховкой площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 с, и вычислить этот путь.

Дано:

Уравнение движения материальной точки: $x(t) = 0.4t^2$ (все величины в СИ)

Промежуток времени: $\Delta t = 4 \text{ с}$ (от $t_1=0$ до $t_2=4 \text{ с}$)

Найти:

1. Формулу зависимости $v_x(t)$.

2. Построить график $v_x(t)$.

3. Показать на графике штриховкой площадь, численно равную пути за 4 с.

4. Вычислить этот путь $S$.

Решение:

Проекция скорости материальной точки $v_x$ является первой производной от координаты $x$ по времени $t$.

$v_x(t) = x'(t) = \frac{dx}{dt}$

Подставим заданное уравнение движения:

$v_x(t) = \frac{d(0.4t^2)}{dt} = 0.4 \cdot 2t = 0.8t$

Таким образом, формула зависимости проекции скорости от времени имеет вид: $v_x(t) = 0.8t$. Это уравнение описывает прямолинейное равноускоренное движение с начальной скоростью $v_{0x}=0$ и ускорением $a_x = 0.8 \text{ м/с}^2$.

Для построения графика $v_x(t)$ заметим, что это линейная функция. Графиком будет прямая, проходящая через начало координат. Найдем значение скорости в конечный момент времени $t = 4 \text{ с}$:

$v_x(4) = 0.8 \cdot 4 = 3.2 \text{ м/с}$

Ниже представлен график зависимости $v_x(t)$. Путь, пройденный точкой за 4 с, численно равен площади фигуры под графиком скорости на интервале от $t=0$ до $t=4 \text{ с}$. Эта фигура — прямоугольный треугольник, площадь которого на графике заштрихована.

Вычислим путь $S$. Это можно сделать двумя способами.

Способ 1: Геометрический. Путь численно равен площади заштрихованного прямоугольного треугольника. Его катеты равны $t = 4 \text{ с}$ (основание) и $v_x(4) = 3.2 \text{ м/с}$ (высота).

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ с} \cdot 3.2 \text{ м/с} = 6.4 \text{ м}$

Способ 2: С помощью уравнения движения. Поскольку движение происходит в одном направлении (скорость $v_x(t) = 0.8t$ неотрицательна при $t \geq 0$), пройденный путь равен изменению координаты за данный промежуток времени.

$S = x(4) - x(0)$

$x(4) = 0.4 \cdot 4^2 = 0.4 \cdot 16 = 6.4 \text{ м}$

$x(0) = 0.4 \cdot 0^2 = 0 \text{ м}$

$S = 6.4 \text{ м} - 0 \text{ м} = 6.4 \text{ м}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: формула зависимости скорости: $v_x(t) = 0.8t$; путь, пройденный точкой за 4 с, равен 6.4 м.