Номер 77, страница 17 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

77. Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один, имея начальную скорость $5 \text{ м/с}$, спускается с горы с ускорением $-0,2 \text{ м/с}^2$; другой, имея начальную скорость $1,5 \text{ м/с}$, спускается с горы с ускорением $0,2 \text{ м/с}^2$. Через какой промежуток времени они встретятся и какое расстояние до встречи пройдёт каждый из них, если расстояние между ними в начальный момент равно $130 \text{ м}$?

Дано:

Начальная скорость первого велосипедиста: $v_{01} = 5$ м/с

Ускорение первого велосипедиста: $a_1 = -0,2$ м/с²

Начальная скорость второго велосипедиста: $v_{02} = 1,5$ м/с

Ускорение второго велосипедиста: $a_2 = 0,2$ м/с²

Начальное расстояние между велосипедистами: $S = 130$ м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Время до встречи $t$

Расстояние, пройденное каждым велосипедистом до встречи $S_1$ и $S_2$

Решение:

Для решения задачи выберем систему отсчета, связанную с землей. Поместим начало координат ($x=0$) в точку, где находился первый велосипедист в начальный момент времени ($t=0$). Ось $Ox$ направим в сторону его движения.

В этой системе отсчета начальные данные для велосипедистов будут следующими:

• Первый велосипедист: начальная координата $x_{01} = 0$, начальная скорость $v_{01x} = 5$ м/с, ускорение $a_{1x} = -0,2$ м/с² (знак минус означает, что он замедляется).
• Второй велосипедист: начальная координата $x_{02} = 130$ м. Он движется навстречу первому, поэтому его начальная скорость направлена против оси $Ox$: $v_{02x} = -1,5$ м/с. В условии сказано, что он спускается с горы с ускорением $0,2$ м/с², что означает, что модуль его скорости увеличивается. Поскольку он движется в отрицательном направлении, его ускорение также должно быть направлено в отрицательную сторону: $a_{2x} = -0,2$ м/с².

Запишем уравнения движения для каждого велосипедиста. Общая формула для равноускоренного движения: $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$.

Уравнение движения первого велосипедиста:

$x_1(t) = 0 + 5t + \frac{(-0,2)t^2}{2} = 5t - 0,1t^2$

Уравнение движения второго велосипедиста:

$x_2(t) = 130 + (-1,5)t + \frac{(-0,2)t^2}{2} = 130 - 1,5t - 0,1t^2$

Велосипедисты встретятся в момент времени $t$, когда их координаты станут равны, то есть $x_1(t) = x_2(t)$.

$5t - 0,1t^2 = 130 - 1,5t - 0,1t^2$

Слагаемые $-0,1t^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются:

$5t = 130 - 1,5t$

Перенесем слагаемое с $t$ в левую часть:

$5t + 1,5t = 130$

$6,5t = 130$

$t = \frac{130}{6,5} = 20$ c

Теперь найдем расстояние, которое прошел каждый велосипедист за это время. Так как велосипедисты движутся без разворота (первый замедляется, но не успевает остановиться, а второй ускоряется), пройденный путь равен модулю перемещения.

Расстояние, пройденное первым велосипедистом ($S_1$):

$S_1 = |x_1(20) - x_{01}| = |(5 \cdot 20 - 0,1 \cdot 20^2) - 0| = |100 - 0,1 \cdot 400| = |100 - 40| = 60$ м

Расстояние, пройденное вторым велосипедистом ($S_2$):

$S_2 = |x_2(20) - x_{02}| = |(130 - 1,5 \cdot 20 - 0,1 \cdot 20^2) - 130| = |-30 - 40| = |-70| = 70$ м

Для проверки можно сложить пройденные расстояния: $S_1 + S_2 = 60 \text{ м} + 70 \text{ м} = 130$ м, что равно начальному расстоянию между ними.

Ответ: Велосипедисты встретятся через $t = 20$ с. За это время первый велосипедист проедет $S_1 = 60$ м, а второй — $S_2 = 70$ м.