Номер 74, страница 17 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

74. Зависимость скорости материальной точки от времени задана формулой $v_x = 6t$. Написать уравнение движения $x = x(t)$, если в начальный момент $(t = 0)$ движущаяся точка находилась в начале координат $(x = 0)$. Вычислить путь, пройденный материальной точкой за 10 с.

Дано:

Зависимость проекции скорости от времени: $v_x = 6t$
Начальные условия: при $t_0 = 0$ с, координата $x(0) = 0$ м.
Время движения: $t_{кон} = 10$ с.
Все величины даны в системе СИ, следовательно, коэффициент 6 имеет размерность м/с².

Найти:

1. Уравнение движения $x(t)$.
2. Путь $S$, пройденный за 10 с.

Решение:

Написать уравнение движения $x = x(t)$

По определению, проекция скорости $v_x$ является первой производной от координаты $x$ по времени $t$:

$v_x = \frac{dx}{dt}$

Для нахождения уравнения движения $x(t)$, необходимо найти первообразную от функции скорости $v_x(t)$, то есть проинтегрировать ее по времени:

$x(t) = \int v_x(t) dt = \int 6t \, dt$

Вычисляем неопределенный интеграл:

$x(t) = 6 \cdot \frac{t^2}{2} + C = 3t^2 + C$

где $C$ — константа интегрирования. Для ее нахождения используем начальные условия задачи: в начальный момент времени $t = 0$ движущаяся точка находилась в начале координат $x = 0$. Подставим эти значения в полученное уравнение:

$x(0) = 3 \cdot (0)^2 + C = 0$

Отсюда получаем, что $C = 0$.
Следовательно, искомое уравнение движения материальной точки имеет вид: $x(t) = 3t^2$.

Ответ: Уравнение движения материальной точки $x(t) = 3t^2$.

Вычислить путь, пройденный материальной точкой за 10 с

Пройденный путь $S$ — это длина участка траектории. Если движение происходит вдоль прямой линии без изменения направления, то путь равен модулю перемещения. Направление движения определяется знаком проекции скорости $v_x$.

В данном случае $v_x = 6t$. На интервале времени от 0 до 10 с, время $t \ge 0$, следовательно, проекция скорости $v_x \ge 0$. Это означает, что точка все время движется в одном и том же направлении (вдоль положительного направления оси Ох).
Поэтому путь, пройденный за 10 с, равен перемещению $\Delta x$ за это время:

$S = \Delta x = x(10) - x(0)$

Используя найденное уравнение движения $x(t) = 3t^2$, вычислим координаты точки в начальный и конечный моменты времени:

$x(10) = 3 \cdot (10)^2 = 3 \cdot 100 = 300$ м

$x(0) = 3 \cdot (0)^2 = 0$ м

Теперь вычислим путь:

$S = 300 \, \text{м} - 0 \, \text{м} = 300$ м

Ответ: Путь, пройденный материальной точкой за 10 с, равен 300 м.