Номер 71, страница 16 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

71. При скорости $v_1 = 15 \text{ км/ч}$ тормозной путь автомобиля равен $s_1 = 1,5 \text{ м}$. Каким будет тормозной путь $s_2$ при скорости $v_2 = 90 \text{ км/ч}$? Ускорение в обоих случаях одно и то же.

Дано:

$v_1 = 15 \text{ км/ч} = 15 \cdot \frac{1000}{3600} \text{ м/с} = \frac{25}{6} \text{ м/с}$

$s_1 = 1.5 \text{ м}$

$v_2 = 90 \text{ км/ч} = 90 \cdot \frac{1000}{3600} \text{ м/с} = 25 \text{ м/с}$

$a_1 = a_2 = a = \text{const}$

Найти:

$s_2$

Решение:

Движение автомобиля при торможении является равнозамедленным. Для такого движения существует формула, связывающая пройденный путь $s$, начальную скорость $v_н$, конечную скорость $v_к$ и ускорение $a$:

$s = \frac{v_к^2 - v_н^2}{2a}$

В нашем случае автомобиль останавливается, поэтому его конечная скорость $v_к$ в обоих случаях равна нулю. Ускорение при торможении направлено против скорости, поэтому его проекция на ось движения отрицательна. Обозначим модуль ускорения как $|a|$. Тогда формула для тормозного пути примет вид:

$s = \frac{0^2 - v_н^2}{2(-|a|)} = \frac{v_н^2}{2|a|}$

Из этой формулы видно, что тормозной путь прямо пропорционален квадрату начальной скорости.

Запишем это соотношение для двух случаев, описанных в задаче:

1. $s_1 = \frac{v_1^2}{2|a|}$

2. $s_2 = \frac{v_2^2}{2|a|}$

Поскольку по условию ускорение в обоих случаях одно и то же, разделим второе уравнение на первое, чтобы найти отношение тормозных путей:

$\frac{s_2}{s_1} = \frac{v_2^2 / (2|a|)}{v_1^2 / (2|a|)} = \frac{v_2^2}{v_1^2} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2$

Теперь выразим искомый тормозной путь $s_2$:

$s_2 = s_1 \cdot \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2$

Подставим числовые значения. При вычислении отношения скоростей можно использовать значения в км/ч, так как единицы измерения сократятся:

$s_2 = 1.5 \text{ м} \cdot \left(\frac{90 \text{ км/ч}}{15 \text{ км/ч}}\right)^2 = 1.5 \text{ м} \cdot (6)^2 = 1.5 \text{ м} \cdot 36 = 54 \text{ м}$

Ответ: тормозной путь при скорости 90 км/ч будет равен 54 м.