Номер 85, страница 18 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

85*. Расстояние между двумя станциями поезд прошёл со средней скоростью $v_{\text{cp}} = 72$ км/ч за $t = 20$ мин. Разгон и торможение вместе длились $t_1 = 4$ мин, а остальное время поезд двигался равномерно. Какой была скорость $v$ поезда при равномерном движении?

Дано:
Средняя скорость $v_{ср} = 72$ км/ч
Общее время движения $t = 20$ мин
Суммарное время разгона и торможения $t_1 = 4$ мин

$v_{ср} = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$
$t = 20 \text{ мин} = 20 \cdot 60 \text{ с} = 1200 \text{ с}$
$t_1 = 4 \text{ мин} = 4 \cdot 60 \text{ с} = 240 \text{ с}$

Найти:
Скорость равномерного движения $v$ - ?

Решение

Весь путь поезда $S$ можно вычислить, зная среднюю скорость $v_{ср}$ и общее время в пути $t$:
$S = v_{ср} \cdot t$

С другой стороны, этот путь состоит из трёх участков: разгон, равномерное движение и торможение. Обозначим искомую скорость равномерного движения как $v$.

Время, в течение которого поезд двигался равномерно ($t_2$), можно найти как разность общего времени и времени, затраченного на разгон и торможение:
$t_2 = t - t_1$

Путь, пройденный поездом во время равномерного движения ($S_2$), равен:
$S_2 = v \cdot t_2 = v \cdot (t - t_1)$

Будем считать, что движение на участках разгона и торможения было равноускоренным. На участке разгона скорость менялась от 0 до $v$, а на участке торможения — от $v$ до 0. В обоих случаях средняя скорость на этих участках равна $\frac{0+v}{2} = \frac{v}{2}$.

Суммарный путь, пройденный за время разгона и торможения ($S_1$), равен произведению средней скорости на этих участках на суммарное время $t_1$:
$S_1 = \frac{v}{2} \cdot t_1$

Общий путь $S$ равен сумме путей на всех участках:
$S = S_1 + S_2 = \frac{v}{2} \cdot t_1 + v \cdot (t - t_1)$

Теперь приравняем два выражения для общего пути $S$:
$v_{ср} \cdot t = \frac{v}{2} \cdot t_1 + v \cdot (t - t_1)$

Вынесем $v$ за скобки в правой части уравнения, чтобы выразить искомую скорость:
$v_{ср} \cdot t = v \left( \frac{t_1}{2} + t - t_1 \right)$
$v_{ср} \cdot t = v \left( t - \frac{t_1}{2} \right)$

Отсюда находим $v$:
$v = \frac{v_{ср} \cdot t}{t - \frac{t_1}{2}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:
$v = \frac{20 \text{ м/с} \cdot 1200 \text{ с}}{1200 \text{ с} - \frac{240 \text{ с}}{2}} = \frac{24000}{1200 - 120} = \frac{24000}{1080} = \frac{200}{9} \text{ м/с}$

Переведем скорость в км/ч, умножив на 3,6:
$v = \frac{200}{9} \cdot 3.6 = \frac{200}{9} \cdot \frac{36}{10} = 20 \cdot 4 = 80 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость поезда при равномерном движении была равна 80 км/ч.