Номер 86, страница 18 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

86. Движения двух автомобилей по шоссе заданы уравнениями $x_1 = 2t + 0,2t^2$ и $x_2 = 80 - 4t$. Описать картину движения. Найти:

а) время и место встречи автомобилей;

б) расстояние между ними через 5 с от начала отсчёта времени;

в) координату первого автомобиля в тот момент времени, когда второй находился в начале отсчёта.

Сначала опишем картину движения. Движение происходит вдоль одной прямой, оси Ox.

Уравнение движения первого автомобиля $x_1(t) = 2t + 0.2t^2$. Это уравнение вида $x(t) = x_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$. Сравнивая, получаем: начальная координата $x_{01}=0$ м, начальная скорость $v_{01}=2$ м/с, ускорение $a_1=0.4$ м/с². Таким образом, первый автомобиль начинает движение из начала координат и движется равноускоренно в положительном направлении оси Ox.

Уравнение движения второго автомобиля $x_2(t) = 80 - 4t$. Это уравнение вида $x(t) = x_0 + vt$. Сравнивая, получаем: начальная координата $x_{02}=80$ м, скорость $v_{2}=-4$ м/с. Таким образом, второй автомобиль начинает движение из точки с координатой 80 м и движется равномерно со скоростью 4 м/с в отрицательном направлении оси Ox (навстречу первому автомобилю).

Дано:

Уравнение движения первого автомобиля: $x_1(t) = 2t + 0.2t^2$

Уравнение движения второго автомобиля: $x_2(t) = 80 - 4t$

Время для пункта б): $t_б = 5$ с

Все величины даны в системе СИ (метры, секунды).

Найти:

а) время $t_{вст}$ и место (координату) $x_{вст}$ встречи автомобилей;

б) расстояние $L$ между ними через $t_б = 5$ с;

в) координату первого автомобиля $x_{1в}$ в момент времени, когда второй находился в начале отсчёта ($x_2=0$).

Решение:

а) время и место встречи автомобилей;

В момент встречи координаты автомобилей равны: $x_1(t_{вст}) = x_2(t_{вст})$.

$2t_{вст} + 0.2t_{вст}^2 = 80 - 4t_{вст}$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0.2t_{вст}^2 + 6t_{вст} - 80 = 0$

Умножим уравнение на 5 для удобства вычислений:

$t_{вст}^2 + 30t_{вст} - 400 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-400) = 900 + 1600 = 2500$

$\sqrt{D} = 50$

$t_{вст} = \frac{-30 \pm 50}{2}$

Получаем два корня: $t_1 = \frac{-30 + 50}{2} = \frac{20}{2} = 10$ с и $t_2 = \frac{-30 - 50}{2} = \frac{-80}{2} = -40$ с.

Так как время не может быть отрицательным, выбираем $t_{вст} = 10$ с.

Теперь найдем место встречи, подставив найденное время в любое из уравнений движения. Используем уравнение для второго автомобиля, так как оно проще:

$x_{вст} = x_2(10) = 80 - 4 \cdot 10 = 80 - 40 = 40$ м.

Проверим по первому уравнению:

$x_{вст} = x_1(10) = 2 \cdot 10 + 0.2 \cdot 10^2 = 20 + 0.2 \cdot 100 = 20 + 20 = 40$ м.

Ответ: автомобили встретятся через 10 с после начала движения в точке с координатой 40 м.

б) расстояние между ними через 5 с от начала отсчета времени;

Найдем координаты каждого автомобиля в момент времени $t=5$ с:

$x_1(5) = 2 \cdot 5 + 0.2 \cdot 5^2 = 10 + 0.2 \cdot 25 = 10 + 5 = 15$ м.

$x_2(5) = 80 - 4 \cdot 5 = 80 - 20 = 60$ м.

Расстояние $L$ между ними равно модулю разности их координат:

$L = |x_2(5) - x_1(5)| = |60 - 15| = 45$ м.

Ответ: через 5 с расстояние между автомобилями будет 45 м.

в) координату первого автомобиля в тот момент времени, когда второй находился в начале отсчёта.

Сначала найдем момент времени $t_в$, когда второй автомобиль находился в начале отсчета, то есть его координата $x_2=0$:

$0 = 80 - 4t_в$

$4t_в = 80$

$t_в = \frac{80}{4} = 20$ с.

Теперь найдем координату первого автомобиля в этот момент времени $t_в = 20$ с:

$x_{1в} = x_1(20) = 2 \cdot 20 + 0.2 \cdot 20^2 = 40 + 0.2 \cdot 400 = 40 + 80 = 120$ м.

Ответ: координата первого автомобиля будет 120 м.