Номер 158, страница 27 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

158*. На одной чаше весов находится сосуд с водой, а на другой — штатив, на котором подвешено алюминиевое тело массой 54 г. При этом весы находятся в равновесии (рис. 27). Если, удлинив нить, погрузить тело в воду, то равновесие нарушится. Груз какой массы надо положить на правую чашу весов, чтобы восстановить равновесие?

Рис. 27

Дано:

Масса алюминиевого тела $m_{Al} = 54$ г

Плотность алюминия (справочное значение) $\rho_{Al} = 2700$ кг/м³

Плотность воды (справочное значение) $\rho_{воды} = 1000$ кг/м³

$m_{Al} = 54 \text{ г} = 0.054 \text{ кг}$

Найти:

Массу груза $m_x$, которую надо положить на правую чашу весов для восстановления равновесия.

Решение:

В начальном состоянии весы находятся в равновесии. На левой чаше находится сосуд с водой, а на правой — штатив, к которому подвешено алюминиевое тело. Обозначим массу сосуда с водой как $M_Л$, массу штатива как $m_{шт}$.

Так как тело подвешено к штативу, который стоит на чаше весов, его вес полностью передается на правую чашу. Условие равновесия в начальном состоянии (равенство масс на чашах):

$M_Л = m_{шт} + m_{Al}$ (1)

Когда алюминиевое тело погружают в воду (не касаясь дна сосуда), на него начинает действовать выталкивающая сила Архимеда $F_А$, направленная вверх. В то же время, согласно третьему закону Ньютона, тело действует на воду с силой, равной по модулю $F_А$ и направленной вниз. Эта дополнительная сила увеличивает давление на левую чашу весов.

Рассмотрим, как изменятся показания весов для каждой чаши (показания весов эквивалентны массе, создающей такую же силу тяжести).

1. Правая чаша: Натяжение нити, удерживающей тело, уменьшится на величину $F_А$. Следовательно, сила давления на правую чашу уменьшится на $F_А$. Эквивалентная масса на правой чаше станет равна $M_П' = m_{шт} + m_{Al} - \frac{F_А}{g}$.

2. Левая чаша: На левую чашу добавится сила давления от тела на воду, равная $F_А$. Эквивалентная масса на левой чаше станет равна $M_Л' = M_Л + \frac{F_А}{g}$.

Чтобы восстановить равновесие, на правую чашу нужно положить груз массой $m_x$. Условие нового равновесия:

$M_Л' = M_П' + m_x$

Подставим выражения для $M_Л'$ и $M_П'$:

$M_Л + \frac{F_А}{g} = m_{шт} + m_{Al} - \frac{F_А}{g} + m_x$

Используя начальное условие равновесия (1), $M_Л = m_{шт} + m_{Al}$, заменим $M_Л$ в левой части уравнения:

$(m_{шт} + m_{Al}) + \frac{F_А}{g} = (m_{шт} + m_{Al}) - \frac{F_А}{g} + m_x$

Сокращая одинаковые члены $(m_{шт} + m_{Al})$ в обеих частях, получаем:

$\frac{F_А}{g} = - \frac{F_А}{g} + m_x$

Отсюда находим искомую массу $m_x$:

$m_x = 2 \cdot \frac{F_А}{g}$

Выталкивающая сила $F_А$ равна весу воды в объеме погруженного тела:

$F_А = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{Al}$

где $V_{Al}$ — объем алюминиевого тела. Объем тела можно найти через его массу и плотность:

$V_{Al} = \frac{m_{Al}}{\rho_{Al}}$

Подставим это в выражение для $m_x$:

$m_x = 2 \cdot \frac{\rho_{воды} \cdot g \cdot V_{Al}}{g} = 2 \cdot \rho_{воды} \cdot V_{Al} = 2 \cdot \rho_{воды} \cdot \frac{m_{Al}}{\rho_{Al}} = 2 \cdot m_{Al} \cdot \frac{\rho_{воды}}{\rho_{Al}}$

Выполним вычисления. Удобнее использовать внесистемные единицы (граммы и г/см³), так как отношение плотностей — безразмерная величина, а масса тела дана в граммах.

$\rho_{воды} = 1000 \text{ кг/м³} = 1 \text{ г/см³}$

$\rho_{Al} = 2700 \text{ кг/м³} = 2.7 \text{ г/см³}$

$m_x = 2 \cdot 54 \text{ г} \cdot \frac{1 \text{ г/см³}}{2.7 \text{ г/см³}} = 108 \text{ г} \cdot \frac{1}{2.7} = \frac{1080}{27} \text{ г} = 40 \text{ г}$

Ответ: чтобы восстановить равновесие, на правую чашу весов надо положить груз массой 40 г.