Номер 218, страница 34 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

11. Движение под действием силы тяжести по вертикали. Глава II. Основы динамики. Механика - номер 218, страница 34.

Условие.

218*. С балкона, находящегося на высоте 25 м над поверхностью земли, бросили вертикально вверх мячик со скоростью 20 м/с. Написать формулу зависимости координаты от времени $y(t)$, выбрав за начало отсчёта:

а) точку бросания;

б) поверхность земли.

Найти, через какое время мячик упадёт на землю.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Высота балкона, $H = 25$ м

Начальная скорость мячика, $v_0 = 20$ м/с

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

а) формулу зависимости координаты от времени $y(t)$, если начало отсчета — точка бросания;

б) формулу зависимости координаты от времени $y(t)$, если начало отсчета — поверхность земли;

в) время падения мячика на землю, $t_{пад}$.

Решение:

Движение мячика является равноускоренным. Зависимость координаты от времени при таком движении описывается общей формулой:

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$

где $y_0$ — начальная координата, $v_{0y}$ — проекция начальной скорости на ось OY, $a_y$ — проекция ускорения на ось OY.

Направим ось OY вертикально вверх. В этом случае проекция начальной скорости $v_{0y} = v_0 = 20$ м/с, а проекция ускорения свободного падения $a_y = -g = -10$ м/с².

а) начало отсчёта: точка бросания

В этом случае начальная координата мячика равна нулю: $y_0 = 0$ м.

Подставим значения в общую формулу:

$y(t) = 0 + 20t + \frac{(-10) t^2}{2}$

$y(t) = 20t - 5t^2$

Координата измеряется в метрах, время — в секундах.

Ответ: Формула зависимости координаты от времени, если начало отсчета — точка бросания: $y(t) = 20t - 5t^2$ (м).

б) начало отсчёта: поверхность земли

В этом случае мячик бросают с высоты $H$, поэтому его начальная координата $y_0 = H = 25$ м.

Подставим значения в общую формулу:

$y(t) = 25 + 20t + \frac{(-10) t^2}{2}$

$y(t) = 25 + 20t - 5t^2$

Координата измеряется в метрах, время — в секундах.

Ответ: Формула зависимости координаты от времени, если начало отсчета — поверхность земли: $y(t) = 25 + 20t - 5t^2$ (м).

Теперь найдем, через какое время мячик упадёт на землю.

В момент падения на землю координата мячика будет равна нулю в системе отсчета, связанной с поверхностью земли (случай б). Приравняем уравнение движения из пункта б) к нулю:

$y(t) = 0$

$25 + 20t - 5t^2 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на -5:

$t^2 - 4t - 5 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$ (c)

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ (c)

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, физический смысл имеет только положительный корень.

Ответ: Мячик упадёт на землю через 5 секунд.