Номер 211, страница 33 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

11. Движение под действием силы тяжести по вертикали. Глава II. Основы динамики. Механика - номер 211, страница 33.

Условие.

211. Во сколько раз надо увеличить начальную скорость брошенного вертикально вверх тела, чтобы высота подъёма увеличилась в 4 раза?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

$h_1$ — начальная высота подъёма
$v_{01}$ — начальная скорость в первом случае
$h_2 = 4h_1$ — высота подъёма во втором случае
$v_{02}$ — начальная скорость во втором случае

Найти:

$\frac{v_{02}}{v_{01}}$

Решение:

При движении тела, брошенного вертикально вверх, его высота подъёма $h$ связана с начальной скоростью $v_0$ и ускорением свободного падения $g$. В верхней точке траектории, на максимальной высоте, скорость тела становится равной нулю.

Воспользуемся формулой для перемещения при равноускоренном движении без времени: $h = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$.

В нашем случае конечная скорость $v=0$, а ускорение $a = -g$ (направлено против начальной скорости).

Подставив эти значения, получим формулу для максимальной высоты подъёма: $h = \frac{0^2 - v_0^2}{2(-g)} = \frac{-v_0^2}{-2g} = \frac{v_0^2}{2g}$.

Из этой формулы видно, что высота подъёма прямо пропорциональна квадрату начальной скорости: $h \propto v_0^2$.

Запишем это соотношение для двух случаев:

1. Для первого случая: $h_1 = \frac{v_{01}^2}{2g}$

2. Для второго случая: $h_2 = \frac{v_{02}^2}{2g}$

По условию задачи, $h_2 = 4h_1$. Подставим выражения для высот в это соотношение:

$\frac{v_{02}^2}{2g} = 4 \cdot \frac{v_{01}^2}{2g}$

Сократим обе части уравнения на $\frac{1}{2g}$:

$v_{02}^2 = 4v_{01}^2$

Чтобы найти отношение скоростей, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{v_{02}^2} = \sqrt{4v_{01}^2}$

$v_{02} = 2v_{01}$

Отсюда находим искомое отношение:

$\frac{v_{02}}{v_{01}} = 2$

Таким образом, чтобы высота подъёма увеличилась в 4 раза, начальную скорость необходимо увеличить в 2 раза.

Ответ: начальную скорость надо увеличить в 2 раза.