Номер 208, страница 33 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

11. Движение под действием силы тяжести по вертикали. Глава II. Основы динамики. Механика - номер 208, страница 33.

Условие.

208. Одно тело свободно падает с высоты $h_1$; одновременно с ним другое тело начинает движение с большей высоты $h_2$. Какой должна быть начальная скорость $v_0$ второго тела, чтобы оба тела упали одновременно?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Высота падения первого тела: $h_1$
Высота падения второго тела: $h_2$
Начальная скорость первого тела: $v_1 = 0$ (свободное падение)
Ускорение свободного падения: $g$
Условие: $h_2 > h_1$

Величины заданы в общем виде, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Начальную скорость второго тела $v_0$.

Решение:

Для решения задачи введем систему координат. Пусть начало отсчета ($y=0$) находится на поверхности земли, а ось OY направлена вертикально вверх. В такой системе координат ускорение свободного падения имеет отрицательную проекцию на ось OY: $a_y = -g$.

Сначала определим время падения первого тела. Оно начинает падать с высоты $h_1$ без начальной скорости. Уравнение его движения (зависимость высоты от времени) имеет вид: $y_1(t) = h_1 - \frac{gt^2}{2}$

Первое тело достигнет земли, когда его координата $y_1$ станет равна нулю. Обозначим это время падения как $t_{пад}$. $0 = h_1 - \frac{gt_{пад}^2}{2}$

Из этого уравнения найдем время падения: $\frac{gt_{пад}^2}{2} = h_1 \implies t_{пад} = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$

Теперь запишем уравнение движения для второго тела. Оно начинает движение с высоты $h_2$ с начальной скоростью $v_0$, направленной вниз (против оси OY). Поэтому его начальная скорость в проекции на ось OY будет $-v_0$. Уравнение движения второго тела: $y_2(t) = h_2 - v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

По условию задачи, оба тела упали одновременно. Это означает, что второе тело также упало за время $t_{пад}$. В этот момент времени его координата $y_2$ стала равна нулю. Подставим $t = t_{пад}$ в уравнение для второго тела: $0 = h_2 - v_0 t_{пад} - \frac{gt_{пад}^2}{2}$

Из вычислений для первого тела мы знаем, что $\frac{gt_{пад}^2}{2} = h_1$. Заменим эту часть в уравнении для второго тела: $0 = h_2 - v_0 t_{пад} - h_1$

Теперь из этого простого соотношения выразим искомую начальную скорость $v_0$: $v_0 t_{пад} = h_2 - h_1$ $v_0 = \frac{h_2 - h_1}{t_{пад}}$

Наконец, подставим найденное ранее выражение для времени падения $t_{пад}$: $v_0 = \frac{h_2 - h_1}{\sqrt{\frac{2h_1}{g}}}$

Данное выражение можно также представить в виде $v_0 = (h_2 - h_1)\sqrt{\frac{g}{2h_1}}$.

Ответ: Начальная скорость второго тела должна быть равна $v_0 = \frac{h_2 - h_1}{\sqrt{\frac{2h_1}{g}}}$.