Номер 207, страница 33 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

207. Какую начальную скорость надо сообщить камню при бросании его вертикально вниз с моста высотой 20 м, чтобы он достиг поверхности воды через 1 с? На сколько дольше длилось бы падение камня с этой же высоты при отсутствии начальной скорости?

Дано:

$h = 20$ м

$t_1 = 1$ с

$v_{0_2} = 0$ м/с

$g \approx 10$ м/с$^2$

Найти:

$v_{0_1}$ - ?

$\Delta t$ - ?

Решение:

Запишем уравнение движения тела, брошенного вертикально вниз, в общем виде. Выберем ось OY, направленную вертикально вниз, с началом в точке броска (на мосту). В этом случае уравнение для пройденного пути $h$ за время $t$ имеет вид:

$h = v_0 t + \frac{g t^2}{2}$

Какую начальную скорость надо сообщить камню при бросании его вертикально вниз с моста высотой 20 м, чтобы он достиг поверхности воды через 1 с?

Для первого случая (падение с начальной скоростью $v_{0_1}$) уравнение примет вид:

$h = v_{0_1} t_1 + \frac{g t_1^2}{2}$

Выразим из этого уравнения искомую начальную скорость $v_{0_1}$:

$v_{0_1} t_1 = h - \frac{g t_1^2}{2}$

$v_{0_1} = \frac{h}{t_1} - \frac{g t_1}{2}$

Подставим известные значения:

$v_{0_1} = \frac{20 \text{ м}}{1 \text{ с}} - \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ с}}{2} = 20 \text{ м/с} - 5 \text{ м/с} = 15 \text{ м/с}$

Ответ: чтобы камень достиг поверхности воды через 1 с, ему надо сообщить начальную скорость 15 м/с.

На сколько дольше длилось бы падение камня с этой же высоты при отсутствии начальной скорости?

Сначала определим время падения $t_2$ для второго случая, когда камень падает без начальной скорости ($v_{0_2} = 0$).

Уравнение движения для этого случая:

$h = v_{0_2} t_2 + \frac{g t_2^2}{2} = 0 \cdot t_2 + \frac{g t_2^2}{2} = \frac{g t_2^2}{2}$

Выразим время падения $t_2$:

$t_2^2 = \frac{2h}{g}$

$t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим значения:

$t_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 20 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{40}{10}} \text{ с} = \sqrt{4} \text{ с} = 2 \text{ с}$

Теперь найдем разницу во времени падения $\Delta t$ между вторым и первым случаями:

$\Delta t = t_2 - t_1 = 2 \text{ с} - 1 \text{ с} = 1 \text{ с}$

Ответ: при отсутствии начальной скорости падение длилось бы на 1 с дольше.