Номер 205, страница 33 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

205*. Сколько времени падало тело, если за последние 2 с оно прошло 60 м?

Дано:

Интервал времени в конце падения: $\Delta t = 2 \, \text{с}$
Расстояние, пройденное за этот интервал: $\Delta h = 60 \, \text{м}$
Начальная скорость: $v_0 = 0 \, \text{м/с}$
Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$
(Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется)

Найти:

Полное время падения: $t$

Решение:

Движение тела — это свободное падение, то есть равноускоренное движение без начальной скорости.
Пусть $t$ — полное время падения тела. Полное расстояние $h_{total}$, которое тело прошло за это время, определяется по формуле:
$h_{total} = \frac{gt^2}{2}$
Промежуток времени до последних двух секунд падения равен $t_1 = t - \Delta t$. Расстояние $h_1$, пройденное телом за это время, составляет:
$h_1 = \frac{g(t - \Delta t)^2}{2}$
Расстояние $\Delta h$, пройденное телом за последние $\Delta t$ секунд падения, является разностью между полным расстоянием $h_{total}$ и расстоянием $h_1$:
$\Delta h = h_{total} - h_1 = \frac{gt^2}{2} - \frac{g(t - \Delta t)^2}{2}$
Вынесем общий множитель $\frac{g}{2}$ за скобки и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\Delta h = \frac{g}{2} (t^2 - (t - \Delta t)^2) = \frac{g}{2} (t - (t - \Delta t))(t + (t - \Delta t))$
Упростим выражение в скобках:
$\Delta h = \frac{g}{2} (\Delta t (2t - \Delta t))$
Из этого уравнения выразим искомое полное время падения $t$. Сначала выразим скобку $(2t - \Delta t)$:
$2t - \Delta t = \frac{2\Delta h}{g \Delta t}$
Теперь выразим $2t$:
$2t = \frac{2\Delta h}{g \Delta t} + \Delta t$
И, наконец, $t$:
$t = \frac{\Delta h}{g \Delta t} + \frac{\Delta t}{2}$
Подставим числовые значения из условия задачи:
$t = \frac{60 \, \text{м}}{10 \, \text{м/с}^2 \cdot 2 \, \text{с}} + \frac{2 \, \text{с}}{2} = \frac{60}{20} \, \text{с} + 1 \, \text{с} = 3 \, \text{с} + 1 \, \text{с} = 4 \, \text{с}$

Ответ: тело падало 4 с.