Номер 217, страница 34 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

11. Движение под действием силы тяжести по вертикали. Глава II. Основы динамики. Механика - номер 217, страница 34.

Условие.

217. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Написать уравнение движения $y = y(t)$. Найти, через какой промежуток времени тело будет на высоте: а) 15 м; б) 20 м; в) 25 м.

Указание. Ось Y направить вертикально вверх; принять, что при $t = 0$ $y = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

$v_0 = 20 \text{ м/с}$

$y_0 = 0 \text{ м}$

$h_a = 15 \text{ м}$

$h_б = 20 \text{ м}$

$h_в = 25 \text{ м}$

Найти:

Уравнение движения $y(t)$

$t_a, t_б, t_в$ - ?

Решение:

Движение тела, брошенного вертикально вверх, является равнозамедленным движением под действием силы тяжести. Согласно указанию, направим ось Y вертикально вверх, а начало отсчета поместим в точку броска ($y_0 = 0$).

Общее уравнение для координаты при равноускоренном движении имеет вид:

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$

В нашем случае:

• начальная координата $y_0 = 0$;
• начальная скорость $v_{0y} = v_0 = 20 \text{ м/с}$ (направлена вверх, совпадает с направлением оси Y);
• ускорение $a_y = -g$, так как ускорение свободного падения $g$ направлено вниз, против направления оси Y. Примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Подставив эти значения в формулу, получим искомое уравнение движения:

$y(t) = 0 + 20t + \frac{-10t^2}{2}$

$y(t) = 20t - 5t^2$

Теперь, используя это уравнение, найдем промежутки времени, через которые тело будет на заданных высотах.

а) Найдем время, когда тело будет на высоте $y = 15 \text{ м}$.

Подставим значение высоты в уравнение движения:

$15 = 20t - 5t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5t^2 - 20t + 15 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его можно решить по теореме Виета ($t_1 + t_2 = 4, t_1 \cdot t_2 = 3$) или через дискриминант.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$.

$t_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \text{ с}$

$t_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \text{ с}$

Физически это означает, что тело достигнет высоты 15 м дважды: первый раз через 1 с (при движении вверх) и второй раз через 3 с (при движении вниз).

Ответ: через 1 с и 3 с.

б) Найдем время, когда тело будет на высоте $y = 20 \text{ м}$.

Подставим значение высоты в уравнение движения:

$20 = 20t - 5t^2$

$5t^2 - 20t + 20 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$t^2 - 4t + 4 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(t - 2)^2 = 0$

Уравнение имеет один корень:

$t = 2 \text{ с}$

Это означает, что тело будет на высоте 20 м только один раз. Эта высота является максимальной высотой подъема тела.

Ответ: через 2 с.

в) Найдем время, когда тело будет на высоте $y = 25 \text{ м}$.

Подставим значение высоты в уравнение движения:

$25 = 20t - 5t^2$

$5t^2 - 20t + 25 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$t^2 - 4t + 5 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), у уравнения нет действительных корней. Это означает, что тело никогда не достигнет высоты 25 м. Как мы выяснили в пункте б), максимальная высота подъема тела составляет 20 м.

Ответ: тело никогда не будет на высоте 25 м.