Номер 223, страница 35 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

12. Движение под действием силы тяжести в случае, когда начальная скорость направлена под углом к горизонту. Движение искусственных спутников и планет. Глава II. Основы динамики. Механика - номер 223, страница 35.

Условие.

223. Как и во сколько раз надо изменить начальную скорость тела, брошенного горизонтально, чтобы при высоте, вдвое меньшей, получить прежнюю дальность полёта?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:
Рассмотрим два случая полета тела, брошенного горизонтально.
Случай 1:
Начальная скорость: $v_1$
Высота падения: $h_1$
Дальность полета: $L_1$
Случай 2:
Начальная скорость: $v_2$
Высота падения: $h_2 = \frac{h_1}{2}$
Дальность полета: $L_2 = L_1$

Найти:
Отношение скоростей $\frac{v_2}{v_1}$.

Решение:
Движение тела, брошенного горизонтально, можно представить как результат сложения двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (Ox) и равноускоренного движения (свободного падения) вдоль вертикальной оси (Oy). Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Дальность полета $L$ равна расстоянию, которое тело пролетает по горизонтали за время полета $t$. Так как горизонтальная скорость постоянна и равна начальной скорости $v$, то:
$L = v \cdot t$

Время полета $t$ зависит только от высоты $h$ и ускорения свободного падения $g$. Начальная вертикальная скорость равна нулю. Уравнение для вертикальной координаты:
$h = \frac{gt^2}{2}$
Из этого уравнения выразим время полета:
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Теперь подставим выражение для времени $t$ в формулу для дальности полета $L$:
$L = v \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Запишем это уравнение для первого случая:
$L_1 = v_1 \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$

И для второго случая, подставив $h_2 = \frac{h_1}{2}$:
$L_2 = v_2 \sqrt{\frac{2h_2}{g}} = v_2 \sqrt{\frac{2(h_1/2)}{g}} = v_2 \sqrt{\frac{h_1}{g}}$

Согласно условию задачи, дальность полета в обоих случаях одинакова, то есть $L_1 = L_2$. Приравняем полученные выражения:
$v_1 \sqrt{\frac{2h_1}{g}} = v_2 \sqrt{\frac{h_1}{g}}$

Упростим уравнение. Левую часть можно переписать как $v_1 \sqrt{2} \sqrt{\frac{h_1}{g}}$. Тогда:
$v_1 \sqrt{2} \sqrt{\frac{h_1}{g}} = v_2 \sqrt{\frac{h_1}{g}}$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\sqrt{\frac{h_1}{g}}$:
$v_1 \sqrt{2} = v_2$

Отсюда находим искомое отношение скоростей:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{2}$

Таким образом, чтобы при уменьшении высоты вдвое дальность полета осталась прежней, начальную скорость необходимо увеличить в $\sqrt{2}$ раз.

Ответ: начальную скорость необходимо увеличить в $\sqrt{2}$ раз (приблизительно в 1,41 раза).