Номер 227, страница 35 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

12. Движение под действием силы тяжести в случае, когда начальная скорость направлена под углом к горизонту. Движение искусственных спутников и планет. Глава II. Основы динамики. Механика - номер 227, страница 35.

Условие.

227. В выбранной системе отсчёта (рис. 33) указаны положение материальной точки А и её скорость $v = 10 \text{ м/с}$ при $t = 0$. Написать уравнения движения $x = x(t)$ и $y = y(t)$, а также уравнение траектории $y = y(x)$, если $OA = 20 \text{ м}$. Решив полученные уравнения, найти:

а) время полёта тела;

б) дальность полёта.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Начальные условия движения материальной точки в момент времени $t=0$ в выбранной системе отсчёта:
Начальная координата по оси X: $x_0 = 0 \text{ м}$
Начальная координата по оси Y: $y_0 = OA = 20 \text{ м}$
Начальная скорость по оси X: $v_{0x} = v = 10 \text{ м/с}$
Начальная скорость по оси Y: $v_{0y} = 0 \text{ м/с}$
Ускорение свободного падения (направлено против оси Y): $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Уравнения движения $x(t)$ и $y(t)$;
Уравнение траектории $y(x)$;
а) $t_{пол}$ — время полёта тела;
б) $L$ — дальность полёта.

Решение:

Движение тела можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного движения вдоль оси X (так как проекция ускорения на эту ось равна нулю, $a_x = 0$) и равноускоренного движения вдоль оси Y (с ускорением $a_y = -g$).

Общий вид уравнений движения:

$x(t) = x_0 + v_{0x}t$

$y(t) = y_0 + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$

Подставим наши начальные данные в эти уравнения:

$x(t) = 0 + 10 \cdot t = 10t$

$y(t) = 20 + 0 \cdot t - \frac{10t^2}{2} = 20 - 5t^2$

Таким образом, уравнения движения тела:

$x(t) = 10t$

$y(t) = 20 - 5t^2$

Для получения уравнения траектории $y=y(x)$ необходимо исключить время $t$ из системы уравнений движения. Выразим время из первого уравнения:

$t = \frac{x}{10}$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$y(x) = 20 - 5\left(\frac{x}{10}\right)^2 = 20 - 5\frac{x^2}{100} = 20 - \frac{x^2}{20}$

Уравнение траектории движения тела:

$y(x) = 20 - \frac{x^2}{20}$

а) время полёта тела

Полёт тела заканчивается в момент, когда оно достигает земли, то есть когда его координата $y$ становится равной нулю. Приравняем уравнение $y(t)$ к нулю и найдем время полёта $t_{пол}$.

$y(t_{пол}) = 0$

$20 - 5t_{пол}^2 = 0$

$5t_{пол}^2 = 20$

$t_{пол}^2 = \frac{20}{5} = 4$

$t_{пол} = \sqrt{4} = 2 \text{ с}$

(Берем только положительное значение корня, так как время не может быть отрицательным).

Ответ: время полёта тела составляет 2 с.

б) дальность полёта

Дальность полёта $L$ — это максимальное расстояние, на которое тело переместилось по горизонтали (вдоль оси X) за время полёта $t_{пол}$. Чтобы найти дальность полёта, подставим найденное время $t_{пол}$ в уравнение для координаты $x(t)$.

$L = x(t_{пол}) = 10 \cdot t_{пол}$

$L = 10 \cdot 2 = 20 \text{ м}$

Ответ: дальность полёта тела составляет 20 м.