Номер 231, страница 36 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

231. Диск, брошенный под углом 45° к горизонту, достиг наибольшей высоты h. Какова дальность его полёта?

Дано:
Угол броска к горизонту: $\alpha = 45^\circ$
Наибольшая высота подъема: $h_{max} = h$

Найти:
Дальность полёта $L - ?$

Решение

Движение диска можно рассматривать как движение материальной точки, брошенной под углом к горизонту. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Введем систему координат, где начало находится в точке броска, ось $OX$ направлена по горизонтали, а ось $OY$ — вертикально вверх.

Запишем уравнения для максимальной высоты подъема $h_{max}$ и дальности полета $L$ для тела, брошенного с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту.

Максимальная высота подъема достигается, когда вертикальная составляющая скорости становится равной нулю. Время подъема $t_{под}$ равно $t_{под} = \frac{v_0 \sin\alpha}{g}$.
Подставив это время в уравнение для вертикальной координаты $y(t) = (v_0 \sin\alpha)t - \frac{gt^2}{2}$, получим максимальную высоту:
$h_{max} = h = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g} \quad (1)$

Дальность полета $L$ — это горизонтальное расстояние, которое тело пролетит за все время полета $t_{пол}$. Время полета равно удвоенному времени подъема: $t_{пол} = 2t_{под} = \frac{2v_0 \sin\alpha}{g}$.
Подставив это время в уравнение для горизонтальной координаты $x(t) = (v_0 \cos\alpha)t$, получим дальность полета:
$L = (v_0 \cos\alpha) \frac{2v_0 \sin\alpha}{g} = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{g}$
Используя формулу двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:
$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} \quad (2)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Нам нужно найти $L$, исключив неизвестную начальную скорость $v_0$. Выразим $v_0^2$ из уравнения (1):
$v_0^2 = \frac{2gh}{\sin^2\alpha}$

Подставим это выражение для $v_0^2$ в уравнение (2):
$L = \left(\frac{2gh}{\sin^2\alpha}\right) \frac{\sin(2\alpha)}{g} = \frac{2h \sin(2\alpha)}{\sin^2\alpha}$

Теперь подставим в полученное выражение данные из условия задачи: $\alpha = 45^\circ$.
Вычислим значения тригонометрических функций:
$\sin(\alpha) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin^2(\alpha) = \sin^2(45^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\sin(2\alpha) = \sin(2 \cdot 45^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$

Подставляем эти значения в формулу для дальности $L$:
$L = \frac{2h \cdot 1}{1/2} = 4h$

Ответ: дальность его полёта равна $4h$.