Номер 225, страница 35 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

12. Движение под действием силы тяжести в случае, когда начальная скорость направлена под углом к горизонту. Движение искусственных спутников и планет. Глава II. Основы динамики. Механика - номер 225, страница 35.

Условие.

225. Мальчик ныряет в воду с крутого берега высотой 5 м, имея после разбега горизонтально направленную скорость, равную по модулю 6 м/с. Каковы модуль и направление скорости мальчика при достижении им воды?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Высота, $h = 5$ м

Начальная горизонтальная скорость, $v_x = 6$ м/с

Начальная вертикальная скорость, $v_{0y} = 0$ м/с

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с$^2$

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Модуль конечной скорости $v$ и ее направление $\alpha$.

Решение:

Движение мальчика можно рассматривать как сложение двух независимых движений: равномерного прямолинейного движения по горизонтали и равноускоренного движения (свободного падения) по вертикали. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Горизонтальная составляющая скорости $v_x$ остается постоянной на протяжении всего полета и равна начальной скорости:

$v_x = 6$ м/с

Вертикальная составляющая скорости $v_y$ в момент достижения воды находится из формулы для равноускоренного движения, связывающей перемещение и скорость, при начальной вертикальной скорости $v_{0y} = 0$:

$h = \frac{v_y^2 - v_{0y}^2}{2g} \implies v_y^2 = 2gh$

$v_y = \sqrt{2gh}$

Подставим числовые значения:

$v_y = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м}} = \sqrt{100} \text{ м/с} = 10$ м/с

Теперь, зная обе составляющие скорости, найдем модуль и направление конечной скорости.

Модуль скорости

Полная скорость $v$ является векторной суммой ее горизонтальной $v_x$ и вертикальной $v_y$ составляющих. Поскольку векторы $v_x$ и $v_y$ перпендикулярны, модуль итоговой скорости найдем по теореме Пифагора:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

$v = \sqrt{(6 \text{ м/с})^2 + (10 \text{ м/с})^2} = \sqrt{36 + 100} \text{ м/с} = \sqrt{136} \text{ м/с} \approx 11.7$ м/с

Направление скорости

Направление скорости определим по углу $\alpha$, который вектор скорости составляет с горизонталью. Тангенс этого угла равен отношению модулей вертикальной и горизонтальной составляющих скорости:

$\tan(\alpha) = \frac{v_y}{v_x}$

$\tan(\alpha) = \frac{10 \text{ м/с}}{6 \text{ м/с}} = \frac{5}{3} \approx 1.67$

Сам угол $\alpha$ равен арктангенсу этого значения:

$\alpha = \arctan\left(\frac{5}{3}\right) \approx 59^\circ$

Этот угол отсчитывается вниз от горизонтали.

Ответ: модуль скорости мальчика при достижении воды равен примерно $11.7$ м/с, направление — под углом около $59^\circ$ к горизонту (вниз).