Номер 229, страница 35 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

229. Вратарь, выбивая мяч от ворот (с земли), сообщил ему скорость 20 м/с, направленную под углом $50^\circ$ к горизонту. Найти время полёта мяча, максимальную высоту подъёма и дальность полёта.

Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 20$ м/с
Угол к горизонту, $\alpha = 50^\circ$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Время полёта, $t_{полета}$ - ?
Максимальную высоту подъёма, $h_{max}$ - ?
Дальность полёта, $L$ - ?

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтальной оси (Ox) и равноускоренное по вертикальной оси (Oy) с ускорением $g$. Начальную скорость $v_0$ разложим на составляющие:
Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$
Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$
Уравнения движения для координат:
$x(t) = v_0 \cos(\alpha) \cdot t$
$y(t) = v_0 \sin(\alpha) \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

Время полёта мяча
Полёт заканчивается, когда мяч возвращается на землю, то есть когда его вертикальная координата $y$ снова становится равной нулю (так как он был выбит с земли, $y_0 = 0$).
$y(t_{полета}) = v_0 \sin(\alpha) \cdot t_{полета} - \frac{g t_{полета}^2}{2} = 0$
Вынесем $t_{полета}$ за скобки: $t_{полета} (v_0 \sin(\alpha) - \frac{g t_{полета}}{2}) = 0$.
Это уравнение имеет два решения: $t=0$ (момент начала полёта) и $v_0 \sin(\alpha) - \frac{g t_{полета}}{2} = 0$. Нас интересует второе, ненулевое решение, которое и является временем полёта.
$t_{полета} = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}$
Подставим числовые значения ($\sin(50^\circ) \approx 0,766$):
$t_{полета} = \frac{2 \cdot 20 \text{ м/с} \cdot \sin(50^\circ)}{9,8 \text{ м/с}^2} \approx \frac{40 \cdot 0,766}{9,8} \approx 3,13 \text{ с}$

Ответ: время полёта мяча составляет примерно 3,13 с.

Максимальная высота подъёма
Максимальная высота достигается в тот момент времени $t_{подъема}$, когда вертикальная составляющая скорости становится равной нулю. Из-за симметрии траектории это время равно половине времени всего полёта:
$t_{подъема} = \frac{t_{полета}}{2} = \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}$
Подставим это время в уравнение для координаты $y(t)$, чтобы найти максимальную высоту $h_{max}$:
$h_{max} = y(t_{подъема}) = v_0 \sin(\alpha) \cdot \left(\frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}\right) - \frac{g}{2} \left(\frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}\right)^2 = \frac{(v_0 \sin(\alpha))^2}{2g}$
Подставим числовые значения:
$h_{max} = \frac{(20 \text{ м/с} \cdot \sin(50^\circ))^2}{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2} \approx \frac{(20 \cdot 0,766)^2}{19,6} \approx \frac{15,32^2}{19,6} \approx \frac{234,7}{19,6} \approx 12,0 \text{ м}$

Ответ: максимальная высота подъёма составляет примерно 12,0 м.

Дальность полёта
Дальность полёта $L$ — это горизонтальное расстояние, которое пролетел мяч за всё время полёта $t_{полета}$. Движение по горизонтали равномерное со скоростью $v_{0x}$.
$L = x(t_{полета}) = v_{0x} \cdot t_{полета} = v_0 \cos(\alpha) \cdot t_{полета}$
Используя найденное время полёта, или подставив его формулу, получим общую формулу для дальности:
$L = v_0 \cos(\alpha) \cdot \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g} = \frac{v_0^2 \cdot 2 \sin(\alpha)\cos(\alpha)}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$
Подставим числовые значения ($\sin(100^\circ) \approx 0,985$):
$L = \frac{(20 \text{ м/с})^2 \cdot \sin(2 \cdot 50^\circ)}{9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{400 \cdot \sin(100^\circ)}{9,8} \approx \frac{400 \cdot 0,985}{9,8} \approx 40,2 \text{ м}$

Ответ: дальность полёта составляет примерно 40,2 м.