Страница 55 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

381. Велосипедист, прекратив работать педалями, на горизонтальном участке пути длиной 36 м уменьшил свою скорость с 10 до 8 м/с. Найти коэффициент сопротивления. Сколько процентов кинетической энергии превратилось во внутреннюю?

Дано:

Длина участка пути, $s = 36 \text{ м}$

Начальная скорость, $v_0 = 10 \text{ м/с}$

Конечная скорость, $v = 8 \text{ м/с}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Коэффициент сопротивления, $\mu$

Процент кинетической энергии, превратившейся во внутреннюю, $\eta$

Решение:

Поскольку велосипедист прекратил работать педалями, его движение замедляется только под действием силы сопротивления (силы трения). Согласно теореме об изменении кинетической энергии, работа силы сопротивления равна изменению кинетической энергии велосипедиста.

Найти коэффициент сопротивления.

Теорема об изменении кинетической энергии: $A_{сопр} = \Delta E_k$.
Изменение кинетической энергии: $\Delta E_k = E_k - E_{k0} = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}$, где $m$ - масса велосипедиста с велосипедом.
Работа силы сопротивления: $A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot s$. Знак минус указывает на то, что сила сопротивления направлена против движения.
Сила сопротивления (трения) на горизонтальной поверхности: $F_{сопр} = \mu N$, где $N$ - сила нормальной реакции опоры. На горизонтальной поверхности $N=mg$. Таким образом, $F_{сопр} = \mu mg$.
Приравняем работу и изменение энергии:
$-\mu mgs = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}$
Масса $m$ сокращается:
$-\mu gs = \frac{v^2 - v_0^2}{2}$
Выразим коэффициент сопротивления $\mu$:
$\mu = -\frac{v^2 - v_0^2}{2gs} = \frac{v_0^2 - v^2}{2gs}$
Подставим числовые значения:
$\mu = \frac{(10 \text{ м/с})^2 - (8 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 36 \text{ м}} = \frac{100 - 64}{720} = \frac{36}{720} = 0.05$

Ответ: Коэффициент сопротивления равен 0,05.

Сколько процентов кинетической энергии превратилось во внутреннюю?

По закону сохранения энергии, убыль кинетической энергии велосипедиста превращается во внутреннюю энергию (тепло) за счет работы силы трения.
Начальная кинетическая энергия: $E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2}$
Конечная кинетическая энергия: $E_k = \frac{mv^2}{2}$
Энергия, превратившаяся во внутреннюю: $Q = E_{k0} - E_k$
Чтобы найти, сколько процентов от начальной кинетической энергии превратилось во внутреннюю, нужно найти отношение $Q$ к $E_{k0}$ и умножить на 100%.
$\eta = \frac{Q}{E_{k0}} \cdot 100\% = \frac{E_{k0} - E_k}{E_{k0}} \cdot 100\% = \left(1 - \frac{E_k}{E_{k0}}\right) \cdot 100\%$
Подставим выражения для кинетической энергии:
$\eta = \left(1 - \frac{mv^2/2}{mv_0^2/2}\right) \cdot 100\% = \left(1 - \frac{v^2}{v_0^2}\right) \cdot 100\%$
Подставим числовые значения скоростей:
$\eta = \left(1 - \frac{(8 \text{ м/с})^2}{(10 \text{ м/с})^2}\right) \cdot 100\% = \left(1 - \frac{64}{100}\right) \cdot 100\% = (1 - 0.64) \cdot 100\% = 0.36 \cdot 100\% = 36\%$

Ответ: 36% кинетической энергии превратилось во внутреннюю.

382. С сортировочной горки скатываются два вагона — один нагруженный, другой порожний. Сравнить расстояния, которые пройдут вагоны по горизонтальному участку до остановки, если коэффициенты сопротивления для обоих вагонов одинаковы.

Дано:

Два вагона: нагруженный и порожний.
Масса нагруженного вагона: $m_1$
Масса порожнего вагона: $m_2$ (причем $m_1 > m_2$)
Высота сортировочной горки: $h$
Коэффициент сопротивления на горизонтальном участке: $\mu$ (одинаков для обоих вагонов)
Начальная скорость на вершине горки: $v_0 = 0$
Конечная скорость на горизонтальном участке: $v_k = 0$

Найти:

Сравнить расстояния $s_1$ и $s_2$, которые пройдут по горизонтальному участку до остановки нагруженный и порожний вагоны соответственно.

Решение:

Задачу можно разбить на два этапа: скатывание вагонов с горки и их последующее движение по горизонтальному участку до полной остановки.

1. Определение скорости у подножия горки.
Воспользуемся законом сохранения механической энергии. При скатывании с горки высотой $h$ из состояния покоя потенциальная энергия вагона $E_p = mgh$ переходит в кинетическую энергию $E_k = \frac{1}{2}mv^2$. Если пренебречь силами сопротивления на склоне, то для любого вагона массой $m$ можно записать:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
где $g$ — ускорение свободного падения, а $v$ — скорость вагона у подножия горки.
Сократив массу $m$ в обеих частях уравнения, получим выражение для скорости:
$v = \sqrt{2gh}$
Из этой формулы следует, что скорость вагона в конце спуска не зависит от его массы. Таким образом, и нагруженный, и порожний вагоны выедут на горизонтальный участок с одинаковой начальной скоростью $v$.

2. Движение по горизонтальному участку.
На горизонтальном участке на вагон действует сила сопротивления движению (сила трения), которая приводит к его остановке. Величину этой силы можно найти по формуле:
$F_{сопр} = \mu N$
где $\mu$ — коэффициент сопротивления, а $N$ — сила нормальной реакции. На горизонтальной поверхности $N$ равна силе тяжести $mg$. Следовательно:
$F_{сопр} = \mu mg$

Чтобы найти тормозной путь $s$, применим теорему об изменении кинетической энергии. Работа, совершаемая силой сопротивления, равна изменению кинетической энергии вагона:
$A_{сопр} = \Delta E_k$
Работа силы сопротивления отрицательна, так как сила направлена в сторону, противоположную перемещению: $A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot s = -\mu m g s$.
Изменение кинетической энергии — это разность между конечной ($0$) и начальной ($\frac{1}{2}mv^2$) энергиями: $\Delta E_k = 0 - \frac{1}{2}mv^2$.
Приравниваем выражения для работы и изменения энергии:
$-\mu m g s = -\frac{1}{2}mv^2$
Масса $m$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому мы можем на нее сократить:
$\mu g s = \frac{1}{2}v^2$
Теперь выразим тормозной путь $s$:
$s = \frac{v^2}{2\mu g}$

Как видно из итоговой формулы, тормозной путь вагона $s$ не зависит от его массы $m$. Он определяется только начальной скоростью на горизонтальном участке $v$ и коэффициентом сопротивления $\mu$.
Поскольку оба вагона имеют одинаковую скорость $v$ в начале горизонтального пути и одинаковый коэффициент сопротивления $\mu$ (по условию), их тормозные пути будут равны.

Ответ: Расстояния, которые пройдут нагруженный и порожний вагоны по горизонтальному участку до остановки, будут одинаковыми.

383. С наклонной плоскости длиной $l$ и углом наклона $\alpha$ скользит тело. Какова скорость тела у основания плоскости, если коэффициент трения равен $\mu$?

Дано:

Длина наклонной плоскости: $l$
Угол наклона плоскости: $\alpha$
Коэффициент трения: $\mu$
Начальная скорость тела: $v_0 = 0$ (подразумевается, что тело начинает скользить с состояния покоя)

Найти:

Скорость тела у основания плоскости: $v$

Решение:

Для нахождения скорости тела у основания наклонной плоскости воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, изменение кинетической энергии тела равно суммарной работе всех сил, действующих на него.

$\Delta E_k = A_{net}$

$E_{k, \text{конечная}} - E_{k, \text{начальная}} = A_g + A_N + A_{тр}$

Поскольку тело начинает скользить с вершины, его начальная скорость $v_0 = 0$, следовательно, начальная кинетическая энергия $E_{k, \text{начальная}} = 0$.

Конечная кинетическая энергия у основания плоскости равна $E_{k, \text{конечная}} = \frac{1}{2}mv^2$, где $m$ - масса тела, а $v$ - искомая скорость.

Рассмотрим работу каждой из сил, действующих на тело при его движении вдоль наклонной плоскости на расстояние $l$:

1. Работа силы тяжести ($A_g$). Сила тяжести $mg$ совершает положительную работу, так как тело перемещается вниз. Работа равна произведению силы на вертикальное перемещение $h$. Высота $h$ связана с длиной $l$ и углом $\alpha$ как $h = l \sin(\alpha)$. Таким образом, $A_g = mgh = mgl \sin(\alpha)$.

2. Работа силы нормальной реакции ($A_N$). Сила нормальной реакции $N$ перпендикулярна перемещению тела, поэтому её работа равна нулю: $A_N = 0$.

3. Работа силы трения ($A_{тр}$). Сила трения скольжения $F_{тр}$ направлена против движения, поэтому её работа отрицательна: $A_{тр} = -F_{тр} \cdot l$. Модуль силы трения равен $F_{тр} = \mu N$. Из второго закона Ньютона в проекции на ось, перпендикулярную наклонной плоскости, следует, что $N = mg \cos(\alpha)$. Тогда $F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$. Работа силы трения: $A_{тр} = -\mu mgl \cos(\alpha)$.

Теперь подставим все значения в теорему об изменении кинетической энергии:

$\frac{1}{2}mv^2 - 0 = mgl \sin(\alpha) + 0 - \mu mgl \cos(\alpha)$

$\frac{1}{2}mv^2 = mgl(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Сократим массу $m$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{2}v^2 = gl(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Выразим отсюда скорость $v$:

$v^2 = 2gl(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

$v = \sqrt{2gl(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))}$

Ответ: $v = \sqrt{2gl(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))}$

384*. С горки высотой $h = 2$ м и основанием $b = 5$ м съезжают санки, которые останавливаются, пройдя горизонтальный путь $s = 35$ м от основания горки. Найти коэффициент трения, считая его одинаковым на всём пути. Определить подобным способом на опыте коэффициент трения, например, между спичечным коробком и ученической линейкой.

Дано:

Высота горки $h = 2 \text{ м}$
Основание горки $b = 5 \text{ м}$
Горизонтальный путь $s = 35 \text{ м}$

Найти:

Коэффициент трения $\mu - ?$

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии с учетом работы силы трения. Полная механическая энергия санок в начальный момент (на вершине горки) переходит в работу силы трения на всем пути, так как начальная и конечная скорости равны нулю.

Начальная энергия системы (санки на вершине горки): Потенциальная энергия: $E_p = mgh$, где $m$ — масса санок, $g$ — ускорение свободного падения. Кинетическая энергия: $E_k = 0$, так как санки начинают движение из состояния покоя. Полная начальная энергия: $E_1 = mgh$.

Конечная энергия системы (санки остановились): Потенциальная энергия: $E_p = 0$ (на горизонтальной поверхности). Кинетическая энергия: $E_k = 0$. Полная конечная энергия: $E_2 = 0$.

Изменение полной механической энергии равно работе $A_{тр}$ силы трения: $\Delta E = E_2 - E_1 = A_{тр}$ $0 - mgh = A_{тр}$

Работа силы трения складывается из работы на наклонном участке (горке) $A_{тр1}$ и на горизонтальном участке $A_{тр2}$. $A_{тр} = A_{тр1} + A_{тр2}$

Работа силы трения на наклонном участке. Длина склона горки равна $L = \sqrt{h^2+b^2}$. Сила нормальной реакции на склоне $N_1 = mg\cos\alpha$, где $\alpha$ - угол наклона горки. Сила трения $F_{тр1} = \mu N_1 = \mu mg\cos\alpha$. Работа силы трения отрицательна, так как сила направлена против движения: $A_{тр1} = -F_{тр1} \cdot L = -\mu mg\cos\alpha \cdot L$. Из геометрии горки $\cos\alpha = \frac{b}{L}$. Подставив это в формулу работы, получаем: $A_{тр1} = -\mu mg \frac{b}{L} L = -\mu mgb$.

Работа силы трения на горизонтальном участке. Сила нормальной реакции $N_2 = mg$. Сила трения $F_{тр2} = \mu N_2 = \mu mg$. Работа на пути $s$: $A_{тр2} = -F_{тр2} \cdot s = -\mu mgs$.

Полная работа силы трения: $A_{тр} = -\mu mgb - \mu mgs = -\mu mg(b+s)$.

Теперь приравняем изменение энергии и работу силы трения: $-mgh = -\mu mg(b+s)$. Сократим обе части на $-mg$ (масса санок не влияет на результат): $h = \mu (b+s)$.

Отсюда выражаем коэффициент трения $\mu$: $\mu = \frac{h}{b+s}$.

Подставим числовые значения: $\mu = \frac{2}{5+35} = \frac{2}{40} = 0.05$.

Ответ: коэффициент трения равен $0.05$.

Определить подобным способом на опыте коэффициент трения, например, между спичечным коробком и ученической линейкой.

Для экспериментального определения коэффициента трения между спичечным коробком и линейкой можно воссоздать условия, описанные в задаче. Потребуются: ученическая линейка, спичечный коробок, рулетка или другая линейка для измерений и какой-либо предмет для создания наклона (например, книга).

Порядок проведения опыта:

1. Создать наклонную плоскость, положив один конец линейки на книгу, а другой оставив на столе. Часть линейки, лежащая на столе, будет горизонтальным участком.

2. Измерить высоту $h$, на которую поднят конец линейки (высота "горки"), и горизонтальную проекцию наклонного участка $b$.

3. Поместить спичечный коробок на верхний край наклонного участка линейки и отпустить его без начального толчка.

4. Измерить расстояние $s$, которое коробок проедет по горизонтальной части линейки до полной остановки.

5. Для повышения точности результатов опыт следует повторить 3-5 раз, найти среднее значение пути $s_{ср}$ и использовать его в расчетах.

6. Рассчитать коэффициент трения по формуле, выведенной в первой части задачи: $\mu = \frac{h}{b+s_{ср}}$.

Ответ: для определения коэффициента трения необходимо измерить высоту $h$ и горизонтальную проекцию $b$ созданной наклонной плоскости, а также путь $s$, пройденный телом (коробком) по горизонтальной поверхности после спуска. Затем рассчитать коэффициент трения по формуле $\mu = \frac{h}{b+s}$.

385*. Для определения коэффициента трения была использована установка, изображённая на рисунке 49, а. Придерживая брусок массой $m$ рукой, подвешивают к нити грузик массой $M$, а затем отпускают брусок. Грузик опускается по высоте на $h$, перемещая при этом брусок по плоскости на расстояние $l$ (рис. 49, б). Вывести формулу для расчёта коэффициента трения $\mu$. При возможности проделать такой опыт.

Рис. 49

Дано:

$m$ – масса бруска
$M$ – масса грузика
$h$ – высота, на которую опускается грузик
$l$ – расстояние, на которое перемещается брусок
$g$ – ускорение свободного падения

Все данные представлены в виде буквенных обозначений и не требуют перевода в СИ.

Найти:

$μ$ – коэффициент трения.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом изменения механической энергии. Изменение полной механической энергии системы «брусок-грузик» равно работе неконсервативных сил, в данном случае – работе силы трения.

$\Delta E = A_{тр}$

Изменение полной механической энергии $\Delta E$ складывается из изменения кинетической энергии $\Delta K$ и изменения потенциальной энергии $\Delta U$:

$\Delta E = \Delta K + \Delta U = (K_2 - K_1) + (U_2 - U_1)$

В начальном состоянии (рис. 49, а) система покоится, поэтому начальная кинетическая энергия $K_1 = 0$. В конечном состоянии (рис. 49, б) система также останавливается, поэтому конечная кинетическая энергия $K_2 = 0$. Следовательно, изменение кинетической энергии равно нулю: $\Delta K = 0$.

Теперь рассмотрим изменение потенциальной энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии начальное положение грузика $M$ и положение бруска $m$ (которое не меняется по высоте). Тогда начальная потенциальная энергия системы $U_1 = 0$.

В конечном состоянии брусок $m$ остается на той же высоте, его потенциальная энергия не изменилась. Грузик $M$ опустился на высоту $h$, поэтому его потенциальная энергия уменьшилась и стала равной $U_{M,2} = -Mgh$. Таким образом, конечная потенциальная энергия системы:

$U_2 = U_{m,2} + U_{M,2} = 0 + (-Mgh) = -Mgh$

Изменение потенциальной энергии системы:

$\Delta U = U_2 - U_1 = -Mgh - 0 = -Mgh$

Работа силы трения $A_{тр}$ совершается над бруском $m$. Сила трения скольжения направлена против движения и по модулю равна:

$F_{тр} = \mu N$

Поскольку брусок движется по горизонтальной поверхности, сила нормальной реакции $N$ равна силе тяжести, действующей на брусок: $N = mg$. Тогда $F_{тр} = \mu mg$.

Работа силы трения на пути $l$ отрицательна:

$A_{тр} = -F_{тр} \cdot l = -\mu mgl$

Подставим все найденные величины в исходное уравнение закона изменения энергии:

$\Delta K + \Delta U = A_{тр}$

$0 + (-Mgh) = -\mu mgl$

$-Mgh = -\mu mgl$

Умножим обе части на $-1$:

$Mgh = \mu mgl$

Выразим из этого уравнения искомый коэффициент трения $μ$:

$\mu = \frac{Mgh}{mgl}$

Сократив ускорение свободного падения $g$, получаем окончательную формулу:

$\mu = \frac{Mh}{ml}$

Ответ:

Формула для расчёта коэффициента трения: $\mu = \frac{Mh}{ml}$.

386*. Санки массой $m = 10 \text{ кг}$ скатились с горы высотой $h = 5 \text{ м}$ и остановились на горизонтальном участке. Какую минимальную работу совершит мальчик, возвращая санки по линии их скатывания?

Дано:

Масса санок, $m = 10 \text{ кг}$
Высота горы, $h = 5 \text{ м}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Минимальная работа мальчика, $A_{мин}$ — ?

Решение:

Разобьем задачу на два этапа: скатывание санок и их подъем мальчиком.

1. Скатывание санок.
В начальный момент времени, находясь на вершине горы на высоте $h$, санки обладают потенциальной энергией $E_{p1} = mgh$. Их начальная кинетическая энергия равна нулю, так как они начинают движение из состояния покоя. После скатывания с горы и остановки на горизонтальном участке конечная потенциальная и кинетическая энергии санок равны нулю.

Согласно закону изменения механической энергии, изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил, в данном случае — работе силы трения $A_{тр}$.

$\Delta E = E_{конечная} - E_{начальная} = A_{тр}$
$0 - mgh = A_{тр}$
Таким образом, работа силы трения при скатывании санок равна $A_{тр} = -mgh$. Знак минус указывает на то, что сила трения совершает отрицательную работу, так как направлена против движения. Модуль работы силы трения, равный количеству энергии, перешедшей в тепло, составляет $|A_{тр}| = mgh$.

2. Подъем санок мальчиком.
Мальчик возвращает санки на вершину горы по той же траектории. Минимальная работа, которую он должен совершить ($A_{мин}$), складывается из двух частей:

- Работы против силы тяжести для увеличения потенциальной энергии санок. Эта работа равна изменению потенциальной энергии: $A_{потенц} = \Delta E_p = mgh - 0 = mgh$. - Работы против силы трения. Поскольку путь тот же, величина силы трения в каждой точке траектории будет такой же, как и при спуске. Следовательно, работа, которую нужно совершить против силы трения, по модулю будет равна работе силы трения при спуске: $|A'_{тр}| = |A_{тр}| = mgh$.

Суммарная минимальная работа мальчика равна:

$A_{мин} = A_{потенц} + |A'_{тр}| = mgh + mgh = 2mgh$

Теперь выполним вычисления:

$A_{мин} = 2 \cdot m \cdot g \cdot h = 2 \cdot 10 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 5 \text{ м}$

$A_{мин} = 100 \cdot 9.8 \text{ Дж} = 980 \text{ Дж}$

Ответ: минимальная работа, которую совершит мальчик, составляет 980 Дж.

387*. Брусок массой m (рис. 50), прикреплённый к динамометру при помощи нити, оттягивают рукой; при этом записывают показания F динамометра и измеряют линейкой растяжение x пружины (по шкале динамометра). Затем отпускают брусок и измеряют путь l, пройденный бруском до остановки. Зная F, x и l, можно определить коэффициент трения $\mu$ между бруском и доской. Вывести формулу для расчёта коэффициента трения. При возможности выполнить работу. (Растягивать пружину надо так, чтобы после полного сокращения пружины динамометра брусок прошёл ещё некоторое расстояние.)

Рис. 50

Дано:

m – масса бруска

F – показание динамометра при растяжении пружины на величину x

x – растяжение пружины

l – путь, пройденный бруском до остановки

g – ускорение свободного падения

Найти:

μ – коэффициент трения

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии с учётом работы сил трения. Можно также применить теорему об изменении кинетической энергии, согласно которой работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии.

В начальный момент, когда брусок удерживают в покое, пружина растянута на величину $x$. Система (брусок) обладает потенциальной энергией упруго деформированной пружины. Кинетическая энергия бруска равна нулю, так как он находится в покое.

Потенциальная энергия пружины вычисляется по формуле: $E_п = \frac{kx^2}{2}$, где $k$ – жёсткость пружины.

Согласно условию, при растяжении пружины на $x$ динамометр показывает силу $F$. По закону Гука, $F = kx$. Отсюда можно выразить жёсткость пружины: $k = \frac{F}{x}$.

Подставим выражение для $k$ в формулу потенциальной энергии: $E_п = \frac{1}{2} \left(\frac{F}{x}\right) x^2 = \frac{Fx}{2}$. Это начальная энергия системы.

После того как брусок отпускают, он начинает двигаться под действием силы упругости пружины. На него также действует сила трения скольжения, направленная против движения. Брусок проходит путь $l$ и останавливается. В конечном состоянии его скорость равна нулю, и пружина не деформирована. Следовательно, и кинетическая, и потенциальная энергия системы в конечном состоянии равны нулю.

Вся начальная потенциальная энергия пружины переходит в работу силы трения $A_{тр}$. $A_{тр} = E_п$

Работа силы трения определяется как произведение модуля силы трения на пройденный путь: $A_{тр} = F_{тр} \cdot l$. Сила трения скольжения равна $F_{тр} = \mu N$, где $N$ – сила нормальной реакции опоры. Для бруска на горизонтальной поверхности $N = mg$. Таким образом, $F_{тр} = \mu mg$.

Подставляя это в формулу для работы силы трения, получаем: $A_{тр} = \mu mg l$.

Теперь приравняем начальную потенциальную энергию к работе силы трения: $\frac{Fx}{2} = \mu mg l$.

Из этого уравнения выразим искомый коэффициент трения $\mu$: $\mu = \frac{Fx}{2mgl}$.

Поскольку в условии задачи не приведены конкретные числовые значения для $F, x, l$ и $m$, выполнить численный расчет не представляется возможным. Решением является вывод итоговой формулы.

Ответ:

Формула для расчёта коэффициента трения: $\mu = \frac{Fx}{2mgl}$.