Номер 382, страница 55 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

18. Закон сохранения энергии. Превращение энергии при действии силы тяжести; силы упругости; силы трения. Глава III. Законы сохранения. Механика - номер 382, страница 55.

Условие.

382. С сортировочной горки скатываются два вагона — один нагруженный, другой порожний. Сравнить расстояния, которые пройдут вагоны по горизонтальному участку до остановки, если коэффициенты сопротивления для обоих вагонов одинаковы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Два вагона: нагруженный и порожний.
Масса нагруженного вагона: $m_1$
Масса порожнего вагона: $m_2$ (причем $m_1 > m_2$)
Высота сортировочной горки: $h$
Коэффициент сопротивления на горизонтальном участке: $\mu$ (одинаков для обоих вагонов)
Начальная скорость на вершине горки: $v_0 = 0$
Конечная скорость на горизонтальном участке: $v_k = 0$

Найти:

Сравнить расстояния $s_1$ и $s_2$, которые пройдут по горизонтальному участку до остановки нагруженный и порожний вагоны соответственно.

Решение:

Задачу можно разбить на два этапа: скатывание вагонов с горки и их последующее движение по горизонтальному участку до полной остановки.

1. Определение скорости у подножия горки.
Воспользуемся законом сохранения механической энергии. При скатывании с горки высотой $h$ из состояния покоя потенциальная энергия вагона $E_p = mgh$ переходит в кинетическую энергию $E_k = \frac{1}{2}mv^2$. Если пренебречь силами сопротивления на склоне, то для любого вагона массой $m$ можно записать:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
где $g$ — ускорение свободного падения, а $v$ — скорость вагона у подножия горки.
Сократив массу $m$ в обеих частях уравнения, получим выражение для скорости:
$v = \sqrt{2gh}$
Из этой формулы следует, что скорость вагона в конце спуска не зависит от его массы. Таким образом, и нагруженный, и порожний вагоны выедут на горизонтальный участок с одинаковой начальной скоростью $v$.

2. Движение по горизонтальному участку.
На горизонтальном участке на вагон действует сила сопротивления движению (сила трения), которая приводит к его остановке. Величину этой силы можно найти по формуле:
$F_{сопр} = \mu N$
где $\mu$ — коэффициент сопротивления, а $N$ — сила нормальной реакции. На горизонтальной поверхности $N$ равна силе тяжести $mg$. Следовательно:
$F_{сопр} = \mu mg$

Чтобы найти тормозной путь $s$, применим теорему об изменении кинетической энергии. Работа, совершаемая силой сопротивления, равна изменению кинетической энергии вагона:
$A_{сопр} = \Delta E_k$
Работа силы сопротивления отрицательна, так как сила направлена в сторону, противоположную перемещению: $A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot s = -\mu m g s$.
Изменение кинетической энергии — это разность между конечной ($0$) и начальной ($\frac{1}{2}mv^2$) энергиями: $\Delta E_k = 0 - \frac{1}{2}mv^2$.
Приравниваем выражения для работы и изменения энергии:
$-\mu m g s = -\frac{1}{2}mv^2$
Масса $m$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому мы можем на нее сократить:
$\mu g s = \frac{1}{2}v^2$
Теперь выразим тормозной путь $s$:
$s = \frac{v^2}{2\mu g}$

Как видно из итоговой формулы, тормозной путь вагона $s$ не зависит от его массы $m$. Он определяется только начальной скоростью на горизонтальном участке $v$ и коэффициентом сопротивления $\mu$.
Поскольку оба вагона имеют одинаковую скорость $v$ в начале горизонтального пути и одинаковый коэффициент сопротивления $\mu$ (по условию), их тормозные пути будут равны.

Ответ: Расстояния, которые пройдут нагруженный и порожний вагоны по горизонтальному участку до остановки, будут одинаковыми.