Номер 383, страница 55 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

18. Закон сохранения энергии. Превращение энергии при действии силы тяжести; силы упругости; силы трения. Глава III. Законы сохранения. Механика - номер 383, страница 55.

Условие.

383. С наклонной плоскости длиной $l$ и углом наклона $\alpha$ скользит тело. Какова скорость тела у основания плоскости, если коэффициент трения равен $\mu$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Длина наклонной плоскости: $l$
Угол наклона плоскости: $\alpha$
Коэффициент трения: $\mu$
Начальная скорость тела: $v_0 = 0$ (подразумевается, что тело начинает скользить с состояния покоя)

Найти:

Скорость тела у основания плоскости: $v$

Решение:

Для нахождения скорости тела у основания наклонной плоскости воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, изменение кинетической энергии тела равно суммарной работе всех сил, действующих на него.

$\Delta E_k = A_{net}$

$E_{k, \text{конечная}} - E_{k, \text{начальная}} = A_g + A_N + A_{тр}$

Поскольку тело начинает скользить с вершины, его начальная скорость $v_0 = 0$, следовательно, начальная кинетическая энергия $E_{k, \text{начальная}} = 0$.

Конечная кинетическая энергия у основания плоскости равна $E_{k, \text{конечная}} = \frac{1}{2}mv^2$, где $m$ - масса тела, а $v$ - искомая скорость.

Рассмотрим работу каждой из сил, действующих на тело при его движении вдоль наклонной плоскости на расстояние $l$:

1. Работа силы тяжести ($A_g$). Сила тяжести $mg$ совершает положительную работу, так как тело перемещается вниз. Работа равна произведению силы на вертикальное перемещение $h$. Высота $h$ связана с длиной $l$ и углом $\alpha$ как $h = l \sin(\alpha)$. Таким образом, $A_g = mgh = mgl \sin(\alpha)$.

2. Работа силы нормальной реакции ($A_N$). Сила нормальной реакции $N$ перпендикулярна перемещению тела, поэтому её работа равна нулю: $A_N = 0$.

3. Работа силы трения ($A_{тр}$). Сила трения скольжения $F_{тр}$ направлена против движения, поэтому её работа отрицательна: $A_{тр} = -F_{тр} \cdot l$. Модуль силы трения равен $F_{тр} = \mu N$. Из второго закона Ньютона в проекции на ось, перпендикулярную наклонной плоскости, следует, что $N = mg \cos(\alpha)$. Тогда $F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$. Работа силы трения: $A_{тр} = -\mu mgl \cos(\alpha)$.

Теперь подставим все значения в теорему об изменении кинетической энергии:

$\frac{1}{2}mv^2 - 0 = mgl \sin(\alpha) + 0 - \mu mgl \cos(\alpha)$

$\frac{1}{2}mv^2 = mgl(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Сократим массу $m$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{2}v^2 = gl(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Выразим отсюда скорость $v$:

$v^2 = 2gl(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

$v = \sqrt{2gl(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))}$

Ответ: $v = \sqrt{2gl(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))}$