Страница 60 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

419. Определить по графику, приведённому на рисунке 54, амплитуду, период и частоту колебаний. Найти максимальную силу, действующую на тело массой 100 г.

Дано:

График зависимости смещения от времени $x(t)$.

Масса тела $m = 100 \text{ г}$.

Найти:

Амплитуду $A$, период $T$, частоту $ν$, максимальную силу $F_{max}$.

Решение:

1. Определение амплитуды, периода и частоты по графику.

Амплитуда колебаний ($A$) — это максимальное (по модулю) смещение тела от положения равновесия. Из графика видно, что максимальное значение координаты $x$ равно 0,5 м.

$A = x_{max} = 0.5 \text{ м}$.

Период колебаний ($T$) — это время, за которое совершается одно полное колебание. Из графика можно увидеть, что от момента времени $t_1=0.2 \text{ с}$ (положение максимального смещения в одну сторону) до момента $t_2=0.6 \text{ с}$ (положение максимального смещения в противоположную сторону) проходит половина периода.

$\frac{T}{2} = t_2 - t_1 = 0.6 \text{ с} - 0.2 \text{ с} = 0.4 \text{ с}$.

Следовательно, полный период равен:

$T = 2 \cdot 0.4 \text{ с} = 0.8 \text{ с}$.

Частота колебаний ($ν$) — это число колебаний в единицу времени. Она связана с периодом соотношением:

$ν = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.8 \text{ с}} = 1.25 \text{ Гц}$.

2. Нахождение максимальной силы.

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна $F = ma$, где $a$ — ускорение тела. При гармонических колебаниях ускорение изменяется по закону $a(t) = - \omega^2 x(t)$, где $\omega$ — циклическая (угловая) частота.

Максимальная по модулю сила $F_{max}$ действует на тело в моменты его максимального смещения от положения равновесия (когда $|x| = A$). В эти моменты ускорение также максимально по модулю:

$a_{max} = \omega^2 A$.

Таким образом, максимальная сила равна:

$F_{max} = m \cdot a_{max} = m \omega^2 A$.

Найдем циклическую частоту $\omega$ через период $T$:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.8 \text{ с}} = 2.5\pi \text{ рад/с}$.

Теперь подставим все известные значения в формулу для максимальной силы:

$F_{max} = 0.1 \text{ кг} \cdot (2.5\pi \text{ рад/с})^2 \cdot 0.5 \text{ м} = 0.1 \cdot 6.25\pi^2 \cdot 0.5 \text{ Н} = 0.3125\pi^2 \text{ Н}$.

Для получения численного ответа воспользуемся приближенным значением $\pi^2 \approx 9.87$:

$F_{max} \approx 0.3125 \cdot 9.87 \approx 3.084 \text{ Н}$.

Округлим до сотых: $F_{max} \approx 3.08 \text{ Н}$.

Ответ: амплитуда колебаний $A = 0.5 \text{ м}$; период $T = 0.8 \text{ с}$; частота $ν = 1.25 \text{ Гц}$; максимальная сила, действующая на тело, $F_{max} \approx 3.08 \text{ Н}$.

420. Найти массу груза, который на пружине жёсткостью 250 Н/м делает 20 колебаний за 16 с.

Дано:

Жёсткость пружины, $k = 250$ Н/м

Число колебаний, $N = 20$

Время колебаний, $t = 16$ с

Найти:

Массу груза, $m$

Решение:

Период колебаний $T$ — это время, за которое совершается одно полное колебание. Мы можем найти его, разделив общее время колебаний на их количество.

$T = \frac{t}{N}$

Подставим известные значения:

$T = \frac{16 \text{ с}}{20} = 0.8 \text{ с}$

Период колебаний груза на пружине (пружинного маятника) также связан с массой груза $m$ и жёсткостью пружины $k$ следующей формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Чтобы найти массу $m$, выразим её из этой формулы. Для этого сначала возведём обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = (2\pi)^2 \cdot \frac{m}{k} = 4\pi^2\frac{m}{k}$

Теперь выразим массу $m$:

$m = \frac{T^2 \cdot k}{4\pi^2}$

Подставим численные значения в полученную формулу:

$m = \frac{(0.8 \text{ с})^2 \cdot 250 \text{ Н/м}}{4\pi^2} = \frac{0.64 \cdot 250}{4\pi^2} = \frac{160}{4\pi^2} = \frac{40}{\pi^2}$

Примем значение $\pi \approx 3.14$, тогда $\pi^2 \approx 9.86$.

$m \approx \frac{40}{9.86} \approx 4.057 \text{ кг}$

Округлим результат до сотых.

Ответ: масса груза приблизительно равна 4.06 кг.

421. Если к некоторому грузу, колеблющемуся на пружине, подвесить гирю массой 100 г, то частота колебаний уменьшится в 1,41 раза. Какой массы груз был первоначально подвешен к пружине?

Дано:

$Δm = 100 \text{ г}$
$\frac{ν_1}{ν_2} = 1,41$

Перевод в систему СИ:
$Δm = 0,1 \text{ кг}$

Найти:

$m_1 - ?$

Решение:

Частота колебаний пружинного маятника определяется по формуле: $ν = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ , где $k$ – жесткость пружины, а $m$ – масса груза.

В начальном состоянии частота колебаний груза массой $m_1$ равна: $ν_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}$

После того как к первому грузу подвесили дополнительную гирю массой $Δm$, общая масса стала $m_2 = m_1 + Δm$. Новая частота колебаний $ν_2$ равна: $ν_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1 + Δm}}$

По условию задачи, частота уменьшилась в 1,41 раза, то есть $\frac{ν_1}{ν_2} = 1,41$.

Составим отношение частот, используя выведенные формулы: $\frac{ν_1}{ν_2} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1 + Δm}}} = \sqrt{\frac{k}{m_1} \cdot \frac{m_1 + Δm}{k}} = \sqrt{\frac{m_1 + Δm}{m_1}}$

Приравняем это выражение к значению из условия: $\sqrt{\frac{m_1 + Δm}{m_1}} = 1,41$

Заметим, что $1,41$ является приближенным значением $\sqrt{2}$. Подставим это значение для упрощения: $\sqrt{\frac{m_1 + Δm}{m_1}} ≈ \sqrt{2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат: $\frac{m_1 + Δm}{m_1} = 2$

Теперь решим это уравнение относительно $m_1$: $m_1 + Δm = 2m_1$

$Δm = 2m_1 - m_1$

$m_1 = Δm$

Таким образом, первоначальная масса груза равна массе добавленной гири. $m_1 = 100 \text{ г}$.

Ответ: масса первоначально подвешенного груза была 100 г.

422. Во сколько раз изменится период колебаний груза, подвешенного на резиновом жгуте, если отрезать $3/4$ длины жгута и подвесить на оставшуюся часть тот же груз?

Дано:

$l_1$ - начальная длина жгута
$m$ - масса груза
Отрезано $\frac{3}{4}$ длины жгута

Найти:

Во сколько раз изменится период колебаний, т.е. найти отношение $\frac{T_1}{T_2}$.

Решение:

Период колебаний груза, подвешенного на упругом жгуте (пружинный маятник), определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $m$ - масса груза, а $k$ - жесткость жгута.

Жесткость упругого тела (жгута, пружины) при прочих равных условиях обратно пропорциональна его длине $l$. Это можно выразить как $k \sim \frac{1}{l}$. Математически это следует из формулы $k = \frac{ES}{l}$, где $E$ - модуль Юнга материала, $S$ - площадь поперечного сечения.

Пусть начальная длина жгута была $l_1$, а его жесткость - $k_1$. Начальный период колебаний равен:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}$

По условию задачи, от жгута отрезали $\frac{3}{4}$ его длины. Следовательно, новая длина жгута $l_2$ составит:

$l_2 = l_1 - \frac{3}{4}l_1 = \frac{1}{4}l_1$

Так как жесткость $k$ обратно пропорциональна длине $l$, то новая жесткость $k_2$ относится к старой $k_1$ как:

$\frac{k_2}{k_1} = \frac{l_1}{l_2}$

Подставим соотношение длин:

$\frac{k_2}{k_1} = \frac{l_1}{\frac{1}{4}l_1} = 4$

Таким образом, новая жесткость в 4 раза больше начальной: $k_2 = 4k_1$.

Новый период колебаний $T_2$ на укороченном жгуте будет равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_2}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{4k_1}}$

Чтобы определить, во сколько раз изменился период, найдем отношение начального периода $T_1$ к конечному $T_2$:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}}{2\pi\sqrt{\frac{m}{4k_1}}} = \sqrt{\frac{\frac{m}{k_1}}{\frac{m}{4k_1}}} = \sqrt{\frac{m}{k_1} \cdot \frac{4k_1}{m}} = \sqrt{4} = 2$

Отношение $\frac{T_1}{T_2} = 2$ означает, что начальный период был в 2 раза больше конечного, то есть период колебаний уменьшился в 2 раза.

Ответ: период колебаний уменьшится в 2 раза.

423. Груз массой 400 г совершает колебания на пружине жёсткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 15 см. Найти полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость движения груза.

Дано:

$m = 400 \text{ г}$

$k = 250 \text{ Н/м}$

$A = 15 \text{ см}$

Найти:

$E - ?$

$v_{max} - ?$

Решение:

полную механическую энергию колебаний

Полная механическая энергия $E$ гармонических колебаний в системе "груз-пружина" постоянна. Она равна максимальной потенциальной энергии пружины, которая достигается при максимальном отклонении груза от положения равновесия, то есть при смещении, равном амплитуде $A$.

Потенциальная энергия пружины определяется формулой $E_p = \frac{kx^2}{2}$. Таким образом, полная энергия системы равна:

$E = E_{p_{max}} = \frac{kA^2}{2}$

Подставим числовые значения в единицах СИ:

$E = \frac{250 \text{ Н/м} \cdot (0.15 \text{ м})^2}{2} = \frac{250 \cdot 0.0225}{2} = \frac{5.625}{2} = 2.8125 \text{ Дж}$

Ответ: полная механическая энергия колебаний равна $2.8125 \text{ Дж}$.

наибольшую скорость движения груза

Согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия системы $E$ также равна максимальной кинетической энергии груза $E_{k_{max}}$. Максимальная кинетическая энергия достигается в момент прохождения грузом положения равновесия, где его скорость максимальна ($v_{max}$), а потенциальная энергия пружины равна нулю.

Кинетическая энергия определяется формулой $E_k = \frac{mv^2}{2}$. Приравнивая полную энергию к максимальной кинетической, получаем:

$E = E_{k_{max}} = \frac{m{v_{max}}^2}{2}$

Из этого уравнения можно выразить максимальную скорость $v_{max}$:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2E}{m}}$

Подставим ранее найденное значение энергии $E$ и массу $m$:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2.8125 \text{ Дж}}{0.4 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{5.625}{0.4}} = \sqrt{14.0625} = 3.75 \text{ м/с}$

Ответ: наибольшая скорость движения груза равна $3.75 \text{ м/с}$.

424. Во сколько раз изменится частота колебаний математического маятника при увеличении длины нити в 3 раза?

Дано:

$l_2 = 3l_1$

Найти:

Во сколько раз изменится частота ν, то есть найти отношение $\frac{ν_1}{ν_2}$ или $\frac{ν_2}{ν_1}$.

Решение:

Частота колебаний математического маятника (ν) определяется формулой, которая является обратной к формуле периода колебаний.

Период колебаний математического маятника $T$ вычисляется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — длина нити маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

Частота $ν$ — это величина, обратная периоду:

$ν = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

Из формулы видно, что частота колебаний обратно пропорциональна квадратному корню из длины нити ($ν \sim \frac{1}{\sqrt{l}}$).

Пусть начальная частота колебаний будет $ν_1$ при длине нити $l_1$:

$ν_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}}$

Новая длина нити $l_2$ в 3 раза больше начальной, то есть $l_2 = 3l_1$. Новая частота колебаний $ν_2$ будет равна:

$ν_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_2}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{3l_1}}$

Чтобы определить, во сколько раз изменилась частота, найдем отношение начальной частоты $ν_1$ к конечной частоте $ν_2$:

$\frac{ν_1}{ν_2} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{3l_1}}} = \frac{\sqrt{\frac{g}{l_1}}}{\sqrt{\frac{g}{3l_1}}} = \sqrt{\frac{g/l_1}{g/(3l_1)}} = \sqrt{\frac{g}{l_1} \cdot \frac{3l_1}{g}} = \sqrt{3}$

Таким образом, $ν_1 = \sqrt{3}ν_2$, или $ν_2 = \frac{ν_1}{\sqrt{3}}$. Это означает, что частота колебаний уменьшилась в $\sqrt{3}$ раз.

Ответ: частота колебаний математического маятника уменьшится в $\sqrt{3}$ раз (приблизительно в 1,73 раза).

425. Как относятся длины математических маятников, если за одно и то же время один совершает 10, а второй 30 колебаний?

Дано:

Число колебаний первого маятника, $N_1 = 10$
Число колебаний второго маятника, $N_2 = 30$
Время колебаний, $t_1 = t_2 = t$

Найти:

Отношение длин маятников, $\frac{l_1}{l_2}$

Решение:

Период колебаний математического маятника (время одного полного колебания) определяется формулой Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

С другой стороны, период можно определить как отношение общего времени колебаний $t$ к числу совершенных за это время колебаний $N$:

$T = \frac{t}{N}$

Запишем периоды для первого и второго маятников:

$T_1 = \frac{t}{N_1}$

$T_2 = \frac{t}{N_2}$

Теперь выразим длины маятников $l_1$ и $l_2$ через их периоды из формулы Гюйгенса. Для этого возведем обе части формулы в квадрат:

$T^2 = (2\pi)^2 \frac{l}{g} \implies l = \frac{g T^2}{4\pi^2}$

Тогда для наших маятников:

$l_1 = \frac{g T_1^2}{4\pi^2}$

$l_2 = \frac{g T_2^2}{4\pi^2}$

Найдем отношение их длин:

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{\frac{g T_1^2}{4\pi^2}}{\frac{g T_2^2}{4\pi^2}} = \frac{T_1^2}{T_2^2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2$

Теперь подставим в это соотношение выражения для периодов через число колебаний:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{t/N_1}{t/N_2} = \frac{t}{N_1} \cdot \frac{N_2}{t} = \frac{N_2}{N_1}$

Следовательно, отношение длин маятников равно:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{30}{10}\right)^2 = 3^2 = 9$

Таким образом, длина первого маятника в 9 раз больше длины второго маятника.

Ответ: отношение длины первого маятника к длине второго равно 9, то есть $l_1 = 9l_2$.

426. Во сколько раз изменится полная механическая энергия колеблющегося маятника при уменьшении его длины в 3 раза и увеличении амплитуды колебаний в 2 раза?

Дано:

$l_2 = \frac{l_1}{3}$

$A_2 = 2A_1$

Найти:

$\frac{E_2}{E_1}$

Решение:

Полная механическая энергия колеблющегося маятника (при отсутствии трения) сохраняется и равна его максимальной потенциальной энергии, которую маятник имеет в крайних точках отклонения от положения равновесия.

$E = U_{max} = mgh_{max}$

где $m$ — масса маятника, $g$ — ускорение свободного падения, а $h_{max}$ — максимальная высота подъема маятника над положением равновесия.

Для малых колебаний, которые обычно рассматриваются в таких задачах, максимальную высоту подъема $h_{max}$ можно выразить через длину маятника $l$ и амплитуду колебаний $A$ (максимальное горизонтальное смещение).

Из геометрии маятника можно показать, что для малых углов отклонения справедливо соотношение:

$h_{max} \approx \frac{A^2}{2l}$

Тогда формула для полной механической энергии маятника при малых колебаниях принимает вид:

$E = mg \frac{A^2}{2l}$

Запишем выражения для полной механической энергии маятника до изменений ($E_1$) и после изменений ($E_2$):

Начальная энергия: $E_1 = \frac{mgA_1^2}{2l_1}$

Конечная энергия: $E_2 = \frac{mgA_2^2}{2l_2}$

Чтобы найти, во сколько раз изменится энергия, найдем отношение конечной энергии к начальной:

$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\frac{mgA_2^2}{2l_2}}{\frac{mgA_1^2}{2l_1}} = \frac{A_2^2}{l_2} \cdot \frac{l_1}{A_1^2} = (\frac{A_2}{A_1})^2 \cdot \frac{l_1}{l_2}$

Из условия задачи известно, что длина маятника уменьшилась в 3 раза, то есть $l_2 = \frac{l_1}{3}$, откуда следует, что $\frac{l_1}{l_2} = 3$.

Амплитуда колебаний увеличилась в 2 раза, то есть $A_2 = 2A_1$, откуда следует, что $\frac{A_2}{A_1} = 2$.

Подставим эти соотношения в формулу для отношения энергий:

$\frac{E_2}{E_1} = (2)^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$

Таким образом, полная механическая энергия маятника увеличится в 12 раз.

Ответ: полная механическая энергия увеличится в 12 раз.

427. Какое значение ускорения свободного падения получил ученик при выполнении лабораторной работы, если маятник длиной 80 см совершил за 1 мин 34 колебания?

Дано:

Длина маятника, $l = 80 \text{ см}$

Число колебаний, $N = 34$

Общее время колебаний, $t = 1 \text{ мин}$

Найти:

Ускорение свободного падения, $g$

Решение:

Период колебаний ($T$) — это время одного полного колебания. Его можно найти, разделив общее время колебаний $t$ на число колебаний $N$:

$T = \frac{t}{N}$

Также, период колебаний математического маятника описывается формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

Приравняв оба выражения для периода, получим:

$\frac{t}{N} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Для того чтобы найти $g$, выразим его из этой формулы. Сначала возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\frac{t}{N})^2 = (2\pi\sqrt{\frac{l}{g}})^2$

$\frac{t^2}{N^2} = 4\pi^2\frac{l}{g}$

Теперь выразим $g$:

$g \cdot t^2 = 4\pi^2 l N^2$

$g = \frac{4\pi^2 l N^2}{t^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$g = \frac{4 \cdot (3.14159)^2 \cdot 0.8 \text{ м} \cdot 34^2}{(60 \text{ с})^2} = \frac{4 \cdot 9.8696 \cdot 0.8 \text{ м} \cdot 1156}{3600 \text{ с}^2}$

$g \approx \frac{36530.45 \text{ м}}{3600 \text{ с}^2} \approx 10.147 \text{ м/с}^2$

Округляя до сотых, получаем значение ускорения свободного падения, которое получил ученик.

Ответ: $g \approx 10.15 \text{ м/с}^2$.

428. Как изменится ход часов с маятником на металлическом стержне при:

а) подъёме на гору;

б) переезде из Мурманска в Ташкент?

Ход маятниковых часов определяется периодом их колебаний $T$. Период колебаний маятника зависит от его длины $l$ и ускорения свободного падения $g$. Связь между этими величинами выражается формулой:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Если период $T$ увеличивается, каждое колебание занимает больше времени, и часы начинают отставать. Если период $T$ уменьшается, часы начинают спешить. Поскольку стержень маятника металлический, его длина $l$ зависит от температуры окружающей среды: при нагревании он удлиняется (тепловое расширение), а при охлаждении — укорачивается.

Решение

При подъёме на гору изменяются два основных параметра, влияющих на ход часов:

1. Ускорение свободного падения ($g$). С увеличением высоты над уровнем моря расстояние до центра Земли увеличивается, что приводит к уменьшению ускорения свободного падения $g$. Из формулы видно, что уменьшение $g$ (знаменатель) приводит к увеличению периода колебаний $T$. Следовательно, часы будут идти медленнее, то есть отставать.

2. Температура. Как правило, при подъёме на гору температура воздуха понижается. Охлаждение металлического стержня приведёт к его сжатию, то есть его длина $l$ уменьшится. Уменьшение длины $l$ (числитель) приводит к уменьшению периода колебаний $T$. Следовательно, часы будут идти быстрее, то есть спешить.

Таким образом, действуют два противоположных эффекта. Конечный результат будет зависеть от того, какой из них окажется преобладающим, то есть от конкретной высоты подъема и перепада температур. Однако в общем случае основным фактором, рассматриваемым в таких задачах, является изменение гравитации.

Ответ: Часы будут отставать, так как уменьшение ускорения свободного падения с высотой обычно оказывает большее влияние, чем укорачивание стержня из-за понижения температуры.

Решение

При переезде из Мурманска в Ташкент также изменяются два параметра:

1. Ускорение свободного падения ($g$). Ускорение свободного падения зависит от географической широты. Из-за сплюснутой формы Земли и ее вращения (центробежный эффект) значение $g$ на экваторе меньше, чем на полюсах. Мурманск находится на высокой широте (ближе к полюсу), а Ташкент — на более низкой (ближе к экватору). Поэтому при переезде из Мурманска в Ташкент ускорение свободного падения $g$ уменьшается. Это приводит к увеличению периода $T$, и часы начинают отставать.

2. Температура. Климат в Ташкенте (Центральная Азия) значительно теплее, чем в Мурманске (Заполярье). При переезде в более теплый климат средняя температура окружающей среды повысится. Это вызовет тепловое расширение металлического стержня, и его длина $l$ увеличится. Увеличение длины $l$ также приводит к увеличению периода колебаний $T$. Этот эффект также заставит часы отставать.

В данном случае оба фактора (уменьшение $g$ и увеличение $l$) действуют в одном направлении, вызывая увеличение периода колебаний.

Ответ: Часы будут отставать.

429*. За одно и то же время один математический маятник делает 50 колебаний, а другой 30. Найти их длины, если один из маятников на 32 см короче другого.

Дано:

Число колебаний первого маятника, $n_1 = 50$

Число колебаний второго маятника, $n_2 = 30$

Разность длин маятников, $\Delta l = 32 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
$\Delta l = 0.32 \text{ м}$

Найти:

Длины маятников $l_1$ и $l_2$.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ – длина маятника, а $g$ – ускорение свободного падения.

Период также можно выразить через число колебаний $n$, совершенных за время $t$:

$T = \frac{t}{n}$

По условию задачи, оба маятника совершают колебания в течение одного и того же промежутка времени $t$. Следовательно, мы можем записать:

$t = T_1 n_1 = T_2 n_2$

Подставим в это равенство выражение для периода через длину маятника:

$2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} \cdot n_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}} \cdot n_2$

Сократим в обеих частях уравнения одинаковые множители ($2\pi$ и $\sqrt{g}$):

$n_1\sqrt{l_1} = n_2\sqrt{l_2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$n_1^2 l_1 = n_2^2 l_2$

Из этого соотношения видно, что чем больше число колебаний $n$, тем меньше длина маятника $l$. Поскольку $n_1 > n_2$ ($50 > 30$), то $l_1 < l_2$. Следовательно, первый маятник короче второго.

По условию, разность длин маятников составляет $\Delta l = 32 \text{ см} = 0.32 \text{ м}$. Таким образом, мы можем записать:

$l_2 = l_1 + \Delta l$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $l_1$ и $l_2$:

$\begin{cases} n_1^2 l_1 = n_2^2 l_2 \\ l_2 = l_1 + \Delta l \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$n_1^2 l_1 = n_2^2 (l_1 + \Delta l)$

Подставим числовые значения $n_1=50$, $n_2=30$ и $\Delta l = 0.32$ м:

$50^2 \cdot l_1 = 30^2 \cdot (l_1 + 0.32)$

$2500 l_1 = 900 (l_1 + 0.32)$

$2500 l_1 = 900 l_1 + 900 \cdot 0.32$

$2500 l_1 = 900 l_1 + 288$

Перенесем слагаемые, содержащие $l_1$, в левую часть:

$2500 l_1 - 900 l_1 = 288$

$1600 l_1 = 288$

Найдем $l_1$:

$l_1 = \frac{288}{1600} = 0.18 \text{ м}$

Теперь найдем длину второго маятника $l_2$:

$l_2 = l_1 + \Delta l = 0.18 + 0.32 = 0.50 \text{ м}$

Переведем найденные длины из метров в сантиметры:

$l_1 = 0.18 \text{ м} = 18 \text{ см}$

$l_2 = 0.50 \text{ м} = 50 \text{ см}$

Ответ: Длина одного маятника составляет 18 см, а другого — 50 см.