Номер 422, страница 60 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

20. Колебательное движение. Глава IV. Законы сохранения. Механика - номер 422, страница 60.

Условие.

422. Во сколько раз изменится период колебаний груза, подвешенного на резиновом жгуте, если отрезать $3/4$ длины жгута и подвесить на оставшуюся часть тот же груз?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

$l_1$ - начальная длина жгута
$m$ - масса груза
Отрезано $\frac{3}{4}$ длины жгута

Найти:

Во сколько раз изменится период колебаний, т.е. найти отношение $\frac{T_1}{T_2}$.

Решение:

Период колебаний груза, подвешенного на упругом жгуте (пружинный маятник), определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $m$ - масса груза, а $k$ - жесткость жгута.

Жесткость упругого тела (жгута, пружины) при прочих равных условиях обратно пропорциональна его длине $l$. Это можно выразить как $k \sim \frac{1}{l}$. Математически это следует из формулы $k = \frac{ES}{l}$, где $E$ - модуль Юнга материала, $S$ - площадь поперечного сечения.

Пусть начальная длина жгута была $l_1$, а его жесткость - $k_1$. Начальный период колебаний равен:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}$

По условию задачи, от жгута отрезали $\frac{3}{4}$ его длины. Следовательно, новая длина жгута $l_2$ составит:

$l_2 = l_1 - \frac{3}{4}l_1 = \frac{1}{4}l_1$

Так как жесткость $k$ обратно пропорциональна длине $l$, то новая жесткость $k_2$ относится к старой $k_1$ как:

$\frac{k_2}{k_1} = \frac{l_1}{l_2}$

Подставим соотношение длин:

$\frac{k_2}{k_1} = \frac{l_1}{\frac{1}{4}l_1} = 4$

Таким образом, новая жесткость в 4 раза больше начальной: $k_2 = 4k_1$.

Новый период колебаний $T_2$ на укороченном жгуте будет равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_2}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{4k_1}}$

Чтобы определить, во сколько раз изменился период, найдем отношение начального периода $T_1$ к конечному $T_2$:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}}{2\pi\sqrt{\frac{m}{4k_1}}} = \sqrt{\frac{\frac{m}{k_1}}{\frac{m}{4k_1}}} = \sqrt{\frac{m}{k_1} \cdot \frac{4k_1}{m}} = \sqrt{4} = 2$

Отношение $\frac{T_1}{T_2} = 2$ означает, что начальный период был в 2 раза больше конечного, то есть период колебаний уменьшился в 2 раза.

Ответ: период колебаний уменьшится в 2 раза.