Номер 425, страница 60 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

20. Колебательное движение. Глава IV. Законы сохранения. Механика - номер 425, страница 60.

Условие.

425. Как относятся длины математических маятников, если за одно и то же время один совершает 10, а второй 30 колебаний?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Число колебаний первого маятника, $N_1 = 10$
Число колебаний второго маятника, $N_2 = 30$
Время колебаний, $t_1 = t_2 = t$

Найти:

Отношение длин маятников, $\frac{l_1}{l_2}$

Решение:

Период колебаний математического маятника (время одного полного колебания) определяется формулой Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

С другой стороны, период можно определить как отношение общего времени колебаний $t$ к числу совершенных за это время колебаний $N$:

$T = \frac{t}{N}$

Запишем периоды для первого и второго маятников:

$T_1 = \frac{t}{N_1}$

$T_2 = \frac{t}{N_2}$

Теперь выразим длины маятников $l_1$ и $l_2$ через их периоды из формулы Гюйгенса. Для этого возведем обе части формулы в квадрат:

$T^2 = (2\pi)^2 \frac{l}{g} \implies l = \frac{g T^2}{4\pi^2}$

Тогда для наших маятников:

$l_1 = \frac{g T_1^2}{4\pi^2}$

$l_2 = \frac{g T_2^2}{4\pi^2}$

Найдем отношение их длин:

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{\frac{g T_1^2}{4\pi^2}}{\frac{g T_2^2}{4\pi^2}} = \frac{T_1^2}{T_2^2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2$

Теперь подставим в это соотношение выражения для периодов через число колебаний:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{t/N_1}{t/N_2} = \frac{t}{N_1} \cdot \frac{N_2}{t} = \frac{N_2}{N_1}$

Следовательно, отношение длин маятников равно:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{30}{10}\right)^2 = 3^2 = 9$

Таким образом, длина первого маятника в 9 раз больше длины второго маятника.

Ответ: отношение длины первого маятника к длине второго равно 9, то есть $l_1 = 9l_2$.