Номер 426, страница 60 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

20. Колебательное движение. Глава IV. Законы сохранения. Механика - номер 426, страница 60.

Условие.

426. Во сколько раз изменится полная механическая энергия колеблющегося маятника при уменьшении его длины в 3 раза и увеличении амплитуды колебаний в 2 раза?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

$l_2 = \frac{l_1}{3}$

$A_2 = 2A_1$

Найти:

$\frac{E_2}{E_1}$

Решение:

Полная механическая энергия колеблющегося маятника (при отсутствии трения) сохраняется и равна его максимальной потенциальной энергии, которую маятник имеет в крайних точках отклонения от положения равновесия.

$E = U_{max} = mgh_{max}$

где $m$ — масса маятника, $g$ — ускорение свободного падения, а $h_{max}$ — максимальная высота подъема маятника над положением равновесия.

Для малых колебаний, которые обычно рассматриваются в таких задачах, максимальную высоту подъема $h_{max}$ можно выразить через длину маятника $l$ и амплитуду колебаний $A$ (максимальное горизонтальное смещение).

Из геометрии маятника можно показать, что для малых углов отклонения справедливо соотношение:

$h_{max} \approx \frac{A^2}{2l}$

Тогда формула для полной механической энергии маятника при малых колебаниях принимает вид:

$E = mg \frac{A^2}{2l}$

Запишем выражения для полной механической энергии маятника до изменений ($E_1$) и после изменений ($E_2$):

Начальная энергия: $E_1 = \frac{mgA_1^2}{2l_1}$

Конечная энергия: $E_2 = \frac{mgA_2^2}{2l_2}$

Чтобы найти, во сколько раз изменится энергия, найдем отношение конечной энергии к начальной:

$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\frac{mgA_2^2}{2l_2}}{\frac{mgA_1^2}{2l_1}} = \frac{A_2^2}{l_2} \cdot \frac{l_1}{A_1^2} = (\frac{A_2}{A_1})^2 \cdot \frac{l_1}{l_2}$

Из условия задачи известно, что длина маятника уменьшилась в 3 раза, то есть $l_2 = \frac{l_1}{3}$, откуда следует, что $\frac{l_1}{l_2} = 3$.

Амплитуда колебаний увеличилась в 2 раза, то есть $A_2 = 2A_1$, откуда следует, что $\frac{A_2}{A_1} = 2$.

Подставим эти соотношения в формулу для отношения энергий:

$\frac{E_2}{E_1} = (2)^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$

Таким образом, полная механическая энергия маятника увеличится в 12 раз.

Ответ: полная механическая энергия увеличится в 12 раз.