Номер 429, страница 60 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

20. Колебательное движение. Глава IV. Законы сохранения. Механика - номер 429, страница 60.

Условие.

429*. За одно и то же время один математический маятник делает 50 колебаний, а другой 30. Найти их длины, если один из маятников на 32 см короче другого.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Число колебаний первого маятника, $n_1 = 50$

Число колебаний второго маятника, $n_2 = 30$

Разность длин маятников, $\Delta l = 32 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
$\Delta l = 0.32 \text{ м}$

Найти:

Длины маятников $l_1$ и $l_2$.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ – длина маятника, а $g$ – ускорение свободного падения.

Период также можно выразить через число колебаний $n$, совершенных за время $t$:

$T = \frac{t}{n}$

По условию задачи, оба маятника совершают колебания в течение одного и того же промежутка времени $t$. Следовательно, мы можем записать:

$t = T_1 n_1 = T_2 n_2$

Подставим в это равенство выражение для периода через длину маятника:

$2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} \cdot n_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}} \cdot n_2$

Сократим в обеих частях уравнения одинаковые множители ($2\pi$ и $\sqrt{g}$):

$n_1\sqrt{l_1} = n_2\sqrt{l_2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$n_1^2 l_1 = n_2^2 l_2$

Из этого соотношения видно, что чем больше число колебаний $n$, тем меньше длина маятника $l$. Поскольку $n_1 > n_2$ ($50 > 30$), то $l_1 < l_2$. Следовательно, первый маятник короче второго.

По условию, разность длин маятников составляет $\Delta l = 32 \text{ см} = 0.32 \text{ м}$. Таким образом, мы можем записать:

$l_2 = l_1 + \Delta l$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $l_1$ и $l_2$:

$\begin{cases} n_1^2 l_1 = n_2^2 l_2 \\ l_2 = l_1 + \Delta l \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$n_1^2 l_1 = n_2^2 (l_1 + \Delta l)$

Подставим числовые значения $n_1=50$, $n_2=30$ и $\Delta l = 0.32$ м:

$50^2 \cdot l_1 = 30^2 \cdot (l_1 + 0.32)$

$2500 l_1 = 900 (l_1 + 0.32)$

$2500 l_1 = 900 l_1 + 900 \cdot 0.32$

$2500 l_1 = 900 l_1 + 288$

Перенесем слагаемые, содержащие $l_1$, в левую часть:

$2500 l_1 - 900 l_1 = 288$

$1600 l_1 = 288$

Найдем $l_1$:

$l_1 = \frac{288}{1600} = 0.18 \text{ м}$

Теперь найдем длину второго маятника $l_2$:

$l_2 = l_1 + \Delta l = 0.18 + 0.32 = 0.50 \text{ м}$

Переведем найденные длины из метров в сантиметры:

$l_1 = 0.18 \text{ м} = 18 \text{ см}$

$l_2 = 0.50 \text{ м} = 50 \text{ см}$

Ответ: Длина одного маятника составляет 18 см, а другого — 50 см.