Номер 436, страница 61 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

436. На некоторых участках дороги встречаются расположенные на приблизительно одинаковых расстояниях выбоины (это обычно отмечается соответствующим дорожным знаком). Водитель вёл автомобиль по такому участку один раз порожним, а другой раз нагруженным. Сравнить скорости движения машины, при которых наступит резонансное раскачивание на рессорах.

Резонансное раскачивание автомобиля на рессорах (пружинах подвески) возникает, когда частота внешнего периодического воздействия совпадает с собственной частотой колебаний подвески автомобиля. В данном случае внешним воздействием являются удары колес о выбоины, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга.

Дано:
$L$ – расстояние между выбоинами (постоянное)
$k$ – жесткость рессор автомобиля (постоянная)
$m_1$ – масса порожнего автомобиля
$m_2$ – масса нагруженного автомобиля
$v_1$ – резонансная скорость порожнего автомобиля
$v_2$ – резонансная скорость нагруженного автомобиля
По условию, масса нагруженного автомобиля больше массы порожнего: $m_2 > m_1$.

Найти:
Сравнить скорости $v_1$ и $v_2$.

Решение:
Систему "кузов автомобиля — рессоры" можно рассматривать как пружинный маятник. Период собственных колебаний такого маятника определяется формулой: $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ где $m$ — масса колеблющегося тела (автомобиля), а $k$ — жесткость пружины (рессор).

Внешнее воздействие (удары о выбоины) является периодическим. Период этого воздействия $T_{вын}$ зависит от скорости автомобиля $v$ и расстояния между выбоинами $L$: $T_{вын} = \frac{L}{v}$

Явление резонанса наступает, когда период внешнего воздействия совпадает с периодом собственных колебаний системы: $T_{вын} = T_0$ Подставим выражения для периодов: $\frac{L}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Выразим из этого равенства скорость $v$, при которой наступает резонанс: $v = \frac{L}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}} = \frac{L}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Теперь применим эту формулу для двух случаев:

1. Для порожнего автомобиля с массой $m_1$ резонансная скорость равна: $v_1 = \frac{L}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}$

2. Для нагруженного автомобиля с массой $m_2$ резонансная скорость равна: $v_2 = \frac{L}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_2}}$

Для сравнения скоростей $v_1$ и $v_2$ рассмотрим их отношение: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{L}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}}{\frac{L}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_2}}} = \frac{\sqrt{1/m_1}}{\sqrt{1/m_2}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Так как масса нагруженного автомобиля больше массы порожнего ($m_2 > m_1$), то их отношение $\frac{m_2}{m_1} > 1$. Следовательно, и корень из этого отношения будет больше единицы: $\sqrt{\frac{m_2}{m_1}} > 1$.

Из этого следует, что $\frac{v_1}{v_2} > 1$, а значит $v_1 > v_2$.

Таким образом, резонансная скорость для нагруженного автомобиля меньше, чем для порожнего. При увеличении массы автомобиля период его собственных колебаний на рессорах увеличивается, а собственная частота уменьшается. Для достижения резонанса (совпадения частот) частота внешних толчков также должна уменьшиться, что при постоянном расстоянии между выбоинами достигается за счет снижения скорости движения.

Ответ: Резонансное раскачивание наступит при меньшей скорости для нагруженного автомобиля, чем для порожнего.