Номер 421, страница 60 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

20. Колебательное движение. Глава IV. Законы сохранения. Механика - номер 421, страница 60.

Условие.

421. Если к некоторому грузу, колеблющемуся на пружине, подвесить гирю массой 100 г, то частота колебаний уменьшится в 1,41 раза. Какой массы груз был первоначально подвешен к пружине?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

$Δm = 100 \text{ г}$
$\frac{ν_1}{ν_2} = 1,41$

Перевод в систему СИ:
$Δm = 0,1 \text{ кг}$

Найти:

$m_1 - ?$

Решение:

Частота колебаний пружинного маятника определяется по формуле: $ν = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ , где $k$ – жесткость пружины, а $m$ – масса груза.

В начальном состоянии частота колебаний груза массой $m_1$ равна: $ν_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}$

После того как к первому грузу подвесили дополнительную гирю массой $Δm$, общая масса стала $m_2 = m_1 + Δm$. Новая частота колебаний $ν_2$ равна: $ν_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1 + Δm}}$

По условию задачи, частота уменьшилась в 1,41 раза, то есть $\frac{ν_1}{ν_2} = 1,41$.

Составим отношение частот, используя выведенные формулы: $\frac{ν_1}{ν_2} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1 + Δm}}} = \sqrt{\frac{k}{m_1} \cdot \frac{m_1 + Δm}{k}} = \sqrt{\frac{m_1 + Δm}{m_1}}$

Приравняем это выражение к значению из условия: $\sqrt{\frac{m_1 + Δm}{m_1}} = 1,41$

Заметим, что $1,41$ является приближенным значением $\sqrt{2}$. Подставим это значение для упрощения: $\sqrt{\frac{m_1 + Δm}{m_1}} ≈ \sqrt{2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат: $\frac{m_1 + Δm}{m_1} = 2$

Теперь решим это уравнение относительно $m_1$: $m_1 + Δm = 2m_1$

$Δm = 2m_1 - m_1$

$m_1 = Δm$

Таким образом, первоначальная масса груза равна массе добавленной гири. $m_1 = 100 \text{ г}$.

Ответ: масса первоначально подвешенного груза была 100 г.