Номер 418, страница 59 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

20. Колебательное движение. Глава IV. Законы сохранения. Механика - номер 418, страница 59.

Условие.

418. Первый шар колеблется на пружине, имеющей жёсткость в 4 раза большую, чем жёсткость пружины, на которой колеблется второй шар такой же массы. Какой из шаров надо дальше отвести от положения равновесия и во сколько раз, чтобы их максимальные скорости были одинаковы?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

$m_1 = m_2 = m$ (массы шаров одинаковы)
$k_1 = 4k_2$ (жесткость первой пружины в 4 раза больше жесткости второй)
$v_{max1} = v_{max2}$ (максимальные скорости шаров равны)

Найти:

Какой из шаров надо дальше отвести от положения равновесия и во сколько раз?

Решение:

Колебания шара на пружине являются гармоническими. Полная механическая энергия такой системы сохраняется. В крайнем положении, когда смещение от положения равновесия максимально и равно амплитуде $A$, скорость шара равна нулю, и вся энергия системы сосредоточена в виде потенциальной энергии упруго деформированной пружины:

$E = E_{p_{max}} = \frac{k A^2}{2}$

При прохождении положения равновесия ($x=0$), потенциальная энергия пружины равна нулю, а скорость шара достигает своего максимального значения $v_{max}$. В этот момент вся энергия системы является кинетической:

$E = E_{k_{max}} = \frac{m v_{max}^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, максимальная потенциальная энергия равна максимальной кинетической энергии:

$\frac{k A^2}{2} = \frac{m v_{max}^2}{2}$

Из этого равенства выразим максимальную скорость $v_{max}$:

$k A^2 = m v_{max}^2$

$v_{max} = A \sqrt{\frac{k}{m}}$

Запишем данное выражение для первого и второго шаров, обозначив их амплитуды как $A_1$ и $A_2$ соответственно:

$v_{max1} = A_1 \sqrt{\frac{k_1}{m_1}}$

$v_{max2} = A_2 \sqrt{\frac{k_2}{m_2}}$

По условию задачи, массы шаров одинаковы ($m_1 = m_2 = m$) и их максимальные скорости равны ($v_{max1} = v_{max2}$). Приравняем правые части уравнений:

$A_1 \sqrt{\frac{k_1}{m}} = A_2 \sqrt{\frac{k_2}{m}}$

Можно сократить на $\sqrt{m}$, так как масса не равна нулю:

$A_1 \sqrt{k_1} = A_2 \sqrt{k_2}$

Теперь подставим известное из условия соотношение жесткостей пружин $k_1 = 4 k_2$:

$A_1 \sqrt{4 k_2} = A_2 \sqrt{k_2}$

$A_1 \cdot 2 \sqrt{k_2} = A_2 \sqrt{k_2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{k_2}$ (так как жесткость не равна нулю), чтобы найти соотношение между амплитудами:

$2 A_1 = A_2$

Полученное соотношение $\frac{A_2}{A_1} = 2$ показывает, что амплитуда колебаний второго шара (на пружине с меньшей жесткостью $k_2$) должна быть в 2 раза больше амплитуды колебаний первого шара (на пружине с большей жесткостью $k_1$).

Ответ: для того чтобы максимальные скорости шаров были одинаковы, второй шар (который колеблется на пружине с меньшей жесткостью) надо отвести от положения равновесия в 2 раза дальше, чем первый шар.