Номер 416, страница 59 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

20. Колебательное движение. Глава IV. Законы сохранения. Механика - номер 416, страница 59.

Условие.

416. На какое расстояние надо отвести от положения равновесия груз массой 640 г, закреплённый на пружине жёсткостью 0,4 кН/м, чтобы он проходил положение равновесия со скоростью 1 м/с?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

$m = 640 \, \text{г} = 0,64 \, \text{кг}$
$k = 0,4 \, \text{кН/м} = 400 \, \text{Н/м}$
$v = 1 \, \text{м/с}$

Найти:

$x$ - ?

Решение:

Данная задача решается с использованием закона сохранения механической энергии. В системе "груз-пружина" при отсутствии трения полная механическая энергия остается постоянной.

Когда груз отводят от положения равновесия на искомое расстояние $x$ (это будет амплитуда колебаний), его скорость равна нулю. В этой крайней точке вся энергия системы представляет собой потенциальную энергию упруго деформированной пружины. Она вычисляется по формуле:

$E_p = \frac{kx^2}{2}$

Когда груз проходит положение равновесия, его смещение от этой точки равно нулю ($x=0$), поэтому потенциальная энергия пружины также равна нулю. В этот момент вся энергия системы переходит в кинетическую энергию груза, которая достигает своего максимального значения, так как скорость максимальна. Кинетическая энергия вычисляется по формуле:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, максимальная потенциальная энергия в точке максимального отклонения равна максимальной кинетической энергии в положении равновесия:

$E_p = E_k$

$\frac{kx^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Умножим обе части равенства на 2, чтобы упростить уравнение:

$kx^2 = mv^2$

Теперь выразим из этого уравнения искомое расстояние $x$:

$x^2 = \frac{mv^2}{k}$

$x = \sqrt{\frac{mv^2}{k}}$

Подставим числовые значения величин в системе СИ и произведем вычисления:

$x = \sqrt{\frac{0,64 \, \text{кг} \cdot (1 \, \text{м/с})^2}{400 \, \text{Н/м}}} = \sqrt{\frac{0,64}{400}} \, \text{м} = \sqrt{0,0016} \, \text{м} = 0,04 \, \text{м}$

Таким образом, чтобы груз проходил положение равновесия со скоростью 1 м/с, его необходимо отвести на расстояние 0,04 м. Это расстояние также можно выразить в сантиметрах: $0,04 \, \text{м} = 4 \, \text{см}$.

Ответ: груз надо отвести от положения равновесия на расстояние 0,04 м (или 4 см).