Страница 64 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

454. Какое количество вещества содержится в алюминиевой отливке массой 5,4 кг?

Дано:

Масса алюминиевой отливки $m = 5,4 \text{ кг}$

Молярная масса алюминия (определяется по периодической таблице Д.И. Менделеева) $M_{\text{Al}} = 27 \text{ г/моль}$

Найти:

Количество вещества $\nu$

Решение:

Количество вещества $\nu$ (измеряется в молях) можно найти, зная массу вещества $m$ и его молярную массу $M$. Эти величины связаны следующей формулой:

$\nu = \frac{m}{M}$

Для корректного расчета необходимо использовать значения в Международной системе единиц (СИ). Масса дана в килограммах (кг), а молярную массу мы перевели в килограммы на моль (кг/моль).

Подставим значения в формулу:

$\nu = \frac{5,4 \text{ кг}}{0,027 \text{ кг/моль}}$

Выполним вычисление:

$\nu = 200 \text{ моль}$

Ответ: в алюминиевой отливке содержится 200 моль вещества.

455. Какова масса 500 моль углекислого газа?

Дано:

Количество вещества углекислого газа ($CO_2$), $\nu = 500$ моль

Найти:

Массу $m$.

Решение:

Масса вещества ($m$) связана с количеством вещества ($\nu$) и молярной массой ($M$) следующей формулой:

$m = \nu \cdot M$

Сначала необходимо определить молярную массу углекислого газа ($CO_2$). Она вычисляется как сумма молярных масс атомов, входящих в состав молекулы. Для этого воспользуемся периодической таблицей химических элементов Д.И. Менделеева.

Молярная масса атома углерода (C) составляет примерно $M(C) \approx 12$ г/моль.

Молярная масса атома кислорода (O) составляет примерно $M(O) \approx 16$ г/моль.

Молекула углекислого газа ($CO_2$) состоит из одного атома углерода и двух атомов кислорода. Следовательно, её молярная масса равна:

$M(CO_2) = M(C) + 2 \cdot M(O) = 12 \text{ г/моль} + 2 \cdot 16 \text{ г/моль} = 12 + 32 = 44$ г/моль.

Для расчетов в Международной системе единиц (СИ) массу выражают в килограммах, поэтому молярную массу необходимо перевести из г/моль в кг/моль:

$M = 44 \text{ г/моль} = 44 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль} = 0.044$ кг/моль.

Теперь подставим известные значения в основную формулу для нахождения массы:

$m = 500 \text{ моль} \cdot 0.044 \text{ кг/моль} = 22$ кг.

Ответ: 22 кг.

456. Какой объём занимают 100 моль ртути?

455. Дано:

Количество вещества углекислого газа: $\nu = 500 \text{ моль}$
Справочные данные (молярные массы из таблицы Менделеева):
Молярная масса углерода (C): $M_C \approx 12 \text{ г/моль}$
Молярная масса кислорода (O): $M_O \approx 16 \text{ г/моль}$

Переведем молярные массы в систему СИ (кг/моль):
$M_C \approx 0.012 \text{ кг/моль}$
$M_O \approx 0.016 \text{ кг/моль}$

Найти:

Массу углекислого газа: $m - ?$

Решение:

Масса вещества ($m$) связана с количеством вещества ($\nu$) и молярной массой ($M$) следующей формулой:
$m = \nu \cdot M$

Сначала вычислим молярную массу углекислого газа ($CO_2$). Молекула $CO_2$ состоит из одного атома углерода и двух атомов кислорода:
$M(CO_2) = M_C + 2 \cdot M_O = 0.012 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} + 2 \cdot 0.016 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} = 0.012 + 0.032 = 0.044 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Теперь подставим известные значения в формулу для расчета массы:
$m = 500 \text{ моль} \cdot 0.044 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} = 22 \text{ кг}$

Ответ: 22 кг.

456. Дано:

Количество вещества ртути: $\nu = 100 \text{ моль}$
Справочные данные:
Молярная масса ртути (Hg): $M(Hg) \approx 200.6 \text{ г/моль}$
Плотность ртути (при н.у.): $\rho(Hg) \approx 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Переведем молярную массу в систему СИ (кг/моль):
$M(Hg) \approx 0.2006 \text{ кг/моль}$

Найти:

Объем ртути: $V - ?$

Решение:

Объем вещества ($V$) можно найти через его массу ($m$) и плотность ($\rho$) по формуле:
$V = \frac{m}{\rho}$

Массу ($m$), в свою очередь, можно выразить через количество вещества ($\nu$) и молярную массу ($M$):
$m = \nu \cdot M$

Объединив две формулы, получаем выражение для расчета объема:
$V = \frac{\nu \cdot M}{\rho}$

Подставим численные значения в полученную формулу:
$V = \frac{100 \text{ моль} \cdot 0.2006 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}{13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = \frac{20.06 \text{ кг}}{13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} \approx 0.001475 \text{ м}^3$

Округлим полученный результат до трёх значащих цифр.

Ответ:$\approx 0.00148 \text{ м}^3$.

457. Сравнить массы и объёмы двух тел, сделанных соответственно из олова и свинца, если в них содержатся равные количества вещества.

Дано:

Тело 1 - олово (Sn)
Тело 2 - свинец (Pb)
Количество вещества: $\nu_{Sn} = \nu_{Pb} = \nu$

Для решения задачи потребуются справочные данные, переведенные в систему СИ:
Молярная масса олова: $M_{Sn} = 118,7 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Молярная масса свинца: $M_{Pb} = 207,2 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Плотность олова: $\rho_{Sn} = 7290$ кг/м³
Плотность свинца: $\rho_{Pb} = 11340$ кг/м³

Найти:

Сравнить массы $m_{Sn}$ и $m_{Pb}$.
Сравнить объёмы $V_{Sn}$ и $V_{Pb}$.

Решение:

Сравнение масс
Масса тела $m$ связана с количеством вещества $\nu$ и молярной массой $M$ следующей формулой:
$m = \nu \cdot M$

Запишем выражения для масс олова и свинца:
$m_{Sn} = \nu \cdot M_{Sn}$
$m_{Pb} = \nu \cdot M_{Pb}$

Поскольку по условию задачи количество вещества в телах одинаково, для сравнения их масс достаточно сравнить их молярные массы. $M_{Pb} = 207,2 \cdot 10^{-3}$ кг/моль, а $M_{Sn} = 118,7 \cdot 10^{-3}$ кг/моль.
Так как $M_{Pb} > M_{Sn}$, то и масса тела из свинца будет больше массы тела из олова: $m_{Pb} > m_{Sn}$.

Найдем отношение масс, чтобы определить, во сколько раз масса свинца больше: $\frac{m_{Pb}}{m_{Sn}} = \frac{\nu \cdot M_{Pb}}{\nu \cdot M_{Sn}} = \frac{M_{Pb}}{M_{Sn}} = \frac{207,2 \cdot 10^{-3}}{118,7 \cdot 10^{-3}} \approx 1,75$

Ответ: Масса тела из свинца примерно в 1,75 раза больше массы тела из олова ($m_{Pb} > m_{Sn}$).

Сравнение объёмов
Объём тела $V$ можно найти через его массу $m$ и плотность $\rho$ по формуле:
$V = \frac{m}{\rho}$

Подставим в эту формулу выражение для массы $m = \nu \cdot M$:
$V = \frac{\nu \cdot M}{\rho}$

Запишем выражения для объёмов олова и свинца:
$V_{Sn} = \frac{\nu \cdot M_{Sn}}{\rho_{Sn}}$
$V_{Pb} = \frac{\nu \cdot M_{Pb}}{\rho_{Pb}}$

Чтобы сравнить объёмы, найдем их отношение: $\frac{V_{Pb}}{V_{Sn}} = \frac{\frac{\nu \cdot M_{Pb}}{\rho_{Pb}}}{\frac{\nu \cdot M_{Sn}}{\rho_{Sn}}} = \frac{\nu \cdot M_{Pb} \cdot \rho_{Sn}}{\nu \cdot M_{Sn} \cdot \rho_{Pb}} = \frac{M_{Pb}}{M_{Sn}} \cdot \frac{\rho_{Sn}}{\rho_{Pb}}$

Подставим числовые значения: $\frac{V_{Pb}}{V_{Sn}} = \frac{207,2}{118,7} \cdot \frac{7290}{11340} \approx 1,75 \cdot 0,643 \approx 1,12$

Так как отношение больше единицы, объём тела из свинца больше объёма тела из олова: $V_{Pb} > V_{Sn}$.

Ответ: Объём тела из свинца примерно в 1,12 раза больше объёма тела из олова ($V_{Pb} > V_{Sn}$).

458. Какой объём займет водород, содержащий такое же количество вещества, какое содержится в азоте объёмом $2 \text{ м}^3$? Какой объём займёт кислород, содержащий такое же количество вещества? Температура и давление газов одинаковы.

Дано:

Объём азота $V_{N_2} = 2 \text{ м}^3$

Условие по количеству вещества: $\nu_{N_2} = \nu_{H_2} = \nu_{O_2} = \nu$

Условие по температуре и давлению: $T_{N_2} = T_{H_2} = T_{O_2} = T$ и $P_{N_2} = P_{H_2} = P_{O_2} = P$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Объём водорода $V_{H_2}$ — ?

Объём кислорода $V_{O_2}$ — ?

Решение:

Эта задача решается с помощью закона Авогадро. Закон Авогадро гласит, что равные объёмы любых идеальных газов при одинаковых температуре и давлении содержат одинаковое число молекул (и, следовательно, одинаковое количество вещества).

Следствием из этого закона является то, что одинаковые количества вещества любых идеальных газов при одинаковых температуре и давлении занимают одинаковые объёмы.

Это также можно показать, используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):

$P \cdot V = \nu \cdot R \cdot T$

где $P$ — давление, $V$ — объём, $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Выразим объём из этого уравнения:

$V = \frac{\nu \cdot R \cdot T}{P}$

По условию задачи, количество вещества ($\nu$), температура ($T$) и давление ($P$) для азота, водорода и кислорода одинаковы. Универсальная газовая постоянная $R$ также является константой. Следовательно, объёмы, занимаемые этими газами, должны быть равны.

$V_{N_2} = V_{H_2} = V_{O_2}$

Поскольку объём азота известен, мы можем найти объёмы водорода и кислорода.

Какой объём займёт водород, содержащий такое же количество вещества, какое содержится в азоте объёмом 2 м³?

Так как количество вещества водорода равно количеству вещества азота, и они находятся при одинаковых температуре и давлении, их объёмы будут равны.

$V_{H_2} = V_{N_2} = 2 \text{ м}^3$

Ответ: водород займёт объём 2 м³.

Какой объём займёт кислород, содержащий такое же количество вещества?

Аналогично, так как количество вещества кислорода равно количеству вещества азота, и они находятся при одинаковых условиях (температура и давление), их объёмы также будут равны.

$V_{O_2} = V_{N_2} = 2 \text{ м}^3$

Ответ: кислород займёт объём 2 м³.

459. Зная постоянную Авогадро, найти массу молекулы и атома водорода.

Дано:

Постоянная Авогадро: $N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Молярная масса молекулярного водорода ($H_2$): $\mu_{H_2} \approx 2 \text{ г/моль}$

Молярная масса атомарного водорода ($H$): $\mu_H \approx 1 \text{ г/моль}$

Перевод в систему СИ:

$\mu_{H_2} = 2 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$

$\mu_H = 1 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Найти:

$m_{H_2}$ — масса молекулы водорода

$m_H$ — масса атома водорода

Решение:

Масса одной частицы (атома или молекулы) $m_0$ связана с молярной массой вещества $\mu$ и постоянной Авогадро $N_A$ следующим соотношением:

$m_0 = \frac{\mu}{N_A}$

где $\mu$ — это масса одного моля вещества, а $N_A$ — число частиц в одном моле.

Масса молекулы водорода

Для нахождения массы молекулы водорода ($H_2$) используем ее молярную массу $\mu_{H_2} \approx 2 \text{ г/моль}$. В системе СИ это $2 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$.

Подставим значения в основную формулу:

$m_{H_2} = \frac{\mu_{H_2}}{N_A} = \frac{2 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 0.3321 \times 10^{-26} \text{ кг}$

Округлив и записав в стандартном виде, получаем:

$m_{H_2} \approx 3.32 \times 10^{-27} \text{ кг}$

Ответ: масса молекулы водорода приблизительно равна $3.32 \times 10^{-27} \text{ кг}$.

Масса атома водорода

Для нахождения массы атома водорода ($H$) используем его молярную массу $\mu_H \approx 1 \text{ г/моль}$. В системе СИ это $1 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$.

Подставим значения в основную формулу:

$m_H = \frac{\mu_H}{N_A} = \frac{1 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 0.16605 \times 10^{-26} \text{ кг}$

Округлив и записав в стандартном виде, получаем:

$m_H \approx 1.66 \times 10^{-27} \text{ кг}$

Ответ: масса атома водорода приблизительно равна $1.66 \times 10^{-27} \text{ кг}$.

460. Сколько молекул содержится в углекислом газе $(CO_2)$ массой 1 г?

460. Дано:

Вещество: углекислый газ ($CO_2$)
Масса углекислого газа, $m = 1 \text{ г}$

$m = 1 \text{ г} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Найти:

Число молекул, $N$

Решение:

Для определения числа молекул $N$ в веществе используется формула, связывающая количество вещества $\nu$ и постоянную Авогадро $N_A$: $N = \nu \cdot N_A$

Количество вещества $\nu$, в свою очередь, можно найти как отношение массы вещества $m$ к его молярной массе $M$: $\nu = \frac{m}{M}$

Объединив эти две формулы, мы получим итоговую расчетную формулу: $N = \frac{m}{M} \cdot N_A$

Сначала вычислим молярную массу углекислого газа ($CO_2$). Она равна сумме атомных масс атомов, входящих в состав молекулы. Используем значения из периодической таблицы химических элементов Д.И. Менделеева, округленные до целых чисел:
Относительная атомная масса углерода $A_r(C) \approx 12$.
Относительная атомная масса кислорода $A_r(O) \approx 16$.
Молярная масса $CO_2$ равна: $M(CO_2) = A_r(C) + 2 \cdot A_r(O) = 12 + 2 \cdot 16 = 44 \text{ г/моль}$.

Переведем молярную массу в систему СИ (кг/моль): $M = 44 \text{ г/моль} = 44 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$.

Теперь подставим все известные значения в итоговую формулу. Постоянная Авогадро $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$. $N = \frac{1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{44 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Проведем вычисления: $N = \frac{1}{44} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \approx 0.02273 \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \approx 0.1369 \cdot 10^{23}$

Запишем полученный результат в стандартном виде: $N \approx 1.37 \cdot 10^{22}$

Ответ: в 1 г углекислого газа содержится приблизительно $1.37 \cdot 10^{22}$ молекул.

461. Найти число атомов в алюминиевом предмете массой 135 г.

461. Дано:

Масса алюминиевого предмета $m = 135 \text{ г}$

Найти:

Число атомов $N - ?$

Решение:

Число атомов $N$ в веществе можно найти, используя количество вещества $\nu$ и постоянную Авогадро $N_A$. Связь между этими величинами выражается формулой:

$N = \nu \cdot N_A$

Количество вещества $\nu$ (в молях) можно вычислить, зная массу вещества $m$ и его молярную массу $M$:

$\nu = \frac{m}{M}$

Объединив две формулы, получаем итоговую формулу для расчета числа атомов:

$N = \frac{m}{M} \cdot N_A$

Для проведения расчетов нам потребуются справочные значения:

1. Молярная масса алюминия ($Al$). Согласно периодической таблице химических элементов Д.И. Менделеева, она равна $M \approx 27 \text{ г/моль}$.

2. Постоянная Авогадро, равная числу частиц (атомов, молекул) в 1 моле вещества: $N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$.

Подставим известные значения в формулу. Для удобства вычислений оставим массу в граммах, так как молярная масса также дана в г/моль.

Сначала найдем количество вещества:

$\nu = \frac{135 \text{ г}}{27 \text{ г/моль}} = 5 \text{ моль}$

Теперь, зная количество вещества, можем рассчитать число атомов алюминия:

$N = 5 \text{ моль} \cdot 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} = 30.11 \times 10^{23} \text{ атомов}$

Для соответствия стандартной научной нотации, запишем результат так, чтобы перед запятой была одна значащая цифра:

$N \approx 3.011 \times 10^{24} \text{ атомов}$

Ответ: в алюминиевом предмете массой 135 г содержится приблизительно $3.011 \times 10^{24}$ атомов.

462. На изделие, поверхность которого 20 $ \text{см}^2 $, нанесён слой серебра толщиной 1 $ \text{мкм} $. Сколько атомов серебра содержится в покрытии?

Дано:

$S = 20 \text{ см}^2 = 20 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 20 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

$h = 1 \text{ мкм} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Для решения задачи потребуются справочные данные для серебра (Ag):

Плотность серебра: $\rho \approx 10500 \text{ кг/м}^3$

Молярная масса серебра: $M \approx 108 \text{ г/моль} = 0.108 \text{ кг/моль}$

Число Авогадро: $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Найти:

$N$ — число атомов серебра.

Решение:

1. Сначала найдем объем слоя серебра. Объем $V$ равен произведению площади поверхности $S$ на толщину слоя $h$:

$V = S \cdot h$

$V = (2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2) \cdot (1 \cdot 10^{-6} \text{ м}) = 2 \cdot 10^{-9} \text{ м}^3$

2. Зная объем и плотность серебра $\rho$, найдем массу $m$ покрытия:

$m = \rho \cdot V$

$m = 10500 \text{ кг/м}^3 \cdot 2 \cdot 10^{-9} \text{ м}^3 = 21000 \cdot 10^{-9} \text{ кг} = 2.1 \cdot 10^{-5} \text{ кг}$

3. Далее определим количество вещества $\nu$ (в молях) в слое серебра, используя его массу $m$ и молярную массу $M$:

$\nu = \frac{m}{M}$

$\nu = \frac{2.1 \cdot 10^{-5} \text{ кг}}{0.108 \text{ кг/моль}} \approx 1.94 \cdot 10^{-4} \text{ моль}$

4. Наконец, найдем общее число атомов $N$ в покрытии, умножив количество вещества $\nu$ на число Авогадро $N_A$:

$N = \nu \cdot N_A$

$N \approx 1.94 \cdot 10^{-4} \text{ моль} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 11.7 \cdot 10^{19} \approx 1.17 \cdot 10^{20}$

Можно объединить все действия в одну формулу:

$N = \frac{m}{M} \cdot N_A = \frac{\rho \cdot V}{M} \cdot N_A = \frac{\rho \cdot S \cdot h}{M} \cdot N_A$

$N = \frac{10500 \cdot 2 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-6}}{0.108} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \approx 1.17 \cdot 10^{20}$

Ответ: в покрытии содержится примерно $1.17 \cdot 10^{20}$ атомов серебра.