Страница 80 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

609. Во сколько раз абсолютное удлинение латунной проволоки больше, чем стальной (такой же длины и такого же поперечного сечения), при действии на них одинаковых растягивающих сил?

Дано:

Рассматриваются две проволоки: латунная (л) и стальная (с).

Длины проволок одинаковы: $l_{0л} = l_{0с} = l_0$.

Площади поперечного сечения одинаковы: $S_л = S_с = S$.

К проволокам приложены одинаковые растягивающие силы: $F_л = F_с = F$.

Модуль Юнга для латуни (табличное значение): $E_л$.

Модуль Юнга для стали (табличное значение): $E_с$.

Найти:

Отношение абсолютных удлинений $\frac{Δl_л}{Δl_с}$.

Решение:

Абсолютное удлинение $Δl$ тела при упругой деформации растяжения определяется законом Гука. Связь между механическим напряжением $\sigma = \frac{F}{S}$ и относительным удлинением $\epsilon = \frac{Δl}{l_0}$ выражается через модуль упругости (модуль Юнга) $E$: $E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{F/S}{Δl/l_0} = \frac{F \cdot l_0}{S \cdot Δl}$

Отсюда можно выразить абсолютное удлинение:

$Δl = \frac{F \cdot l_0}{S \cdot E}$

Запишем это выражение для каждой из проволок.

Для латунной проволоки:

$Δl_л = \frac{F \cdot l_0}{S \cdot E_л}$

Для стальной проволоки:

$Δl_с = \frac{F \cdot l_0}{S \cdot E_с}$

Чтобы найти, во сколько раз абсолютное удлинение латунной проволоки больше, чем стальной, найдем отношение их удлинений:

$\frac{Δl_л}{Δl_с} = \frac{\frac{F \cdot l_0}{S \cdot E_л}}{\frac{F \cdot l_0}{S \cdot E_с}}$

Поскольку по условию задачи $F$, $l_0$ и $S$ одинаковы для обеих проволок, эти величины сокращаются:

$\frac{Δl_л}{Δl_с} = \frac{E_с}{E_л}$

Таким образом, отношение удлинений обратно пропорционально отношению модулей Юнга материалов.

Воспользуемся табличными значениями модулей Юнга для стали и латуни:

• Модуль Юнга для стали: $E_с \approx 200 \text{ ГПа} = 2 \cdot 10^{11} \text{ Па}$
• Модуль Юнга для латуни: $E_л \approx 100 \text{ ГПа} = 1 \cdot 10^{11} \text{ Па}$

Подставим эти значения в нашу формулу:

$\frac{Δl_л}{Δl_с} = \frac{2 \cdot 10^{11} \text{ Па}}{1 \cdot 10^{11} \text{ Па}} = 2$

Ответ: абсолютное удлинение латунной проволоки в 2 раза больше, чем стальной.

610. К концам стальной проволоки длиной 3 м и сечением $1 \text{ мм}^2$ приложены растягивающие силы по 210 Н каждая. Найти абсолютное и относительное удлинения.

Дано:

Перевод в систему СИ:

Найти:

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом Гука для упругой деформации, который связывает механическое напряжение $\sigma$, относительное удлинение $\varepsilon$ и модуль упругости $E$:

$\sigma = E \cdot \varepsilon$

Механическое напряжение $\sigma$ — это отношение приложенной силы $F$ к площади поперечного сечения $S$:

$\sigma = \frac{F}{S}$

Относительное удлинение $\varepsilon$ — это отношение абсолютного удлинения $\Delta L$ к начальной длине $L_0$:

$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$

Объединив формулы, получим выражение для расчета удлинения:

$\frac{F}{S} = E \cdot \frac{\Delta L}{L_0}$

Абсолютное удлинение

Выразим из полученной формулы абсолютное удлинение $\Delta L$:

$\Delta L = \frac{F \cdot L_0}{E \cdot S}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$\Delta L = \frac{210 \text{ Н} \cdot 3 \text{ м}}{2.1 \cdot 10^{11} \text{ Па} \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} = \frac{630}{2.1 \cdot 10^5} \text{ м} = 300 \cdot 10^{-5} \text{ м} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Это значение можно перевести в миллиметры: $3 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 3 \text{ мм}$.

Ответ: абсолютное удлинение проволоки составляет $3 \cdot 10^{-3}$ м (или 3 мм).

Относительное удлинение

Теперь, зная абсолютное удлинение, найдем относительное удлинение по его определению:

$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$

Подставим значения:

$\varepsilon = \frac{3 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{3 \text{ м}} = 10^{-3} = 0.001$

Относительное удлинение является безразмерной величиной. Иногда его выражают в процентах: $0.001 \cdot 100\% = 0.1\%$.

Ответ: относительное удлинение проволоки составляет 0.001 (или 0.1%).

611. На рисунке 68 представлен график зависимости упругого напряжения, возникающего в бетонной свае, от её относительного сжатия. Найти модуль упругости бетона.

Рис. 68

Дано:

На графике представлена зависимость упругого напряжения $\sigma$ от относительного сжатия $\epsilon$. Выберем на графике точку с удобными для считывания координатами. Например, точке на оси абсцисс $\epsilon = 1 \cdot 10^{-4}$ соответствует точка на оси ординат $\sigma = 2 \text{ МПа}$.

$\sigma = 2 \text{ МПа} = 2 \cdot 10^6 \text{ Па}$
$\epsilon = 1 \cdot 10^{-4}$

Найти:

$E$ - ?

Решение:

Согласно закону Гука для упругой деформации, механическое напряжение $\sigma$ прямо пропорционально относительному удлинению (в данном случае сжатию) $\epsilon$. Коэффициентом пропорциональности является модуль упругости $E$ (модуль Юнга).

$\sigma = E \cdot \epsilon$

Из данной формулы можно выразить модуль упругости:

$E = \frac{\sigma}{\epsilon}$

Геометрически модуль упругости представляет собой тангенс угла наклона графика $\sigma(\epsilon)$ к оси деформаций. Подставим числовые значения, взятые из графика, в систему СИ:

$E = \frac{2 \cdot 10^6 \text{ Па}}{1 \cdot 10^{-4}} = 2 \cdot 10^{10} \text{ Па}$

Полученное значение можно также выразить в гигапаскалях (ГПа), учитывая, что $1 \text{ ГПа} = 10^9 \text{ Па}$:

$E = 20 \cdot 10^9 \text{ Па} = 20 \text{ ГПа}$

Ответ: модуль упругости бетона равен $2 \cdot 10^{10}$ Па.

612. Какие силы надо приложить к концам стальной проволоки длиной 4 м и сечением 0,5 мм² для удлинения её на 2 мм?

Дано:

Материал: сталь

Начальная длина проволоки: $l_0 = 4$ м

Площадь поперечного сечения: $S = 0,5 \text{ мм}^2$

Абсолютное удлинение: $\Delta l = 2 \text{ мм}$

Модуль упругости (модуль Юнга) для стали (справочное значение): $E \approx 200 \text{ ГПа}$

Перевод величин в систему СИ:

$S = 0,5 \text{ мм}^2 = 0,5 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2$

$\Delta l = 2 \text{ мм} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$E = 200 \text{ ГПа} = 200 \cdot 10^9 \text{ Па} = 2 \cdot 10^{11} \text{ Па}$

Найти:

Силу, приложенную к концам проволоки: $F$

Решение:

Для нахождения силы, вызывающей упругую деформацию (растяжение) тела, воспользуемся законом Гука для твердых тел. Модуль упругости $E$ связывает механическое напряжение $\sigma$ и относительное удлинение $\varepsilon$ следующим соотношением:

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$

Механическое напряжение $\sigma$ — это отношение приложенной силы $F$ к площади поперечного сечения $S$:

$\sigma = \frac{F}{S}$

Относительное удлинение $\varepsilon$ — это отношение абсолютного удлинения $\Delta l$ к начальной длине тела $l_0$:

$\varepsilon = \frac{\Delta l}{l_0}$

Подставим выражения для $\sigma$ и $\varepsilon$ в исходную формулу:

$E = \frac{F/S}{\Delta l/l_0} = \frac{F \cdot l_0}{S \cdot \Delta l}$

Из этой формулы выразим искомую силу $F$:

$F = \frac{E \cdot S \cdot \Delta l}{l_0}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ:

$F = \frac{2 \cdot 10^{11} \text{ Па} \cdot 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2 \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{4 \text{ м}}$

Выполним вычисления:

$F = \frac{(2 \cdot 5 \cdot 2) \cdot 10^{(11 - 7 - 3)}}{4} \text{ Н} = \frac{20 \cdot 10^1}{4} \text{ Н} = \frac{200}{4} \text{ Н} = 50 \text{ Н}$

Ответ: для удлинения проволоки на 2 мм необходимо приложить к ее концам силы величиной 50 Н.

613. Во сколько раз относительное удлинение рыболовной лесы диаметром 0,2 мм больше, чем лесы диаметром 0,4 мм, если к их концам приложены одинаковые силы?

Дано:

Диаметр первой лесы, $d_1 = 0,2 \text{ мм}$
Диаметр второй лесы, $d_2 = 0,4 \text{ мм}$
Силы, приложенные к лесам, одинаковы: $F_1 = F_2 = F$
Материал лесы одинаков, следовательно, модуль Юнга одинаков: $E_1 = E_2 = E$

$d_1 = 0,2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
$d_2 = 0,4 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Отношение относительных удлинений $\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}$

Решение:

Относительное удлинение $\epsilon$ определяется по формуле, следующей из закона Гука: $\epsilon = \frac{\sigma}{E}$, где $\sigma$ – механическое напряжение, а $E$ – модуль Юнга материала.

Механическое напряжение $\sigma$ – это отношение приложенной силы $F$ к площади поперечного сечения $S$: $\sigma = \frac{F}{S}$

Подставив выражение для напряжения в формулу для относительного удлинения, получим: $\epsilon = \frac{F}{E \cdot S}$

Площадь поперечного сечения лесы, имеющей форму круга, вычисляется через ее диаметр $d$: $S = \frac{\pi d^2}{4}$

Тогда формула для относительного удлинения примет вид: $\epsilon = \frac{F}{E \cdot \frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4F}{E \pi d^2}$

Запишем выражения для относительного удлинения для каждой лесы:

Для первой лесы (диаметром $d_1$): $\epsilon_1 = \frac{4F}{E \pi d_1^2}$

Для второй лесы (диаметром $d_2$): $\epsilon_2 = \frac{4F}{E \pi d_2^2}$

Теперь найдем отношение относительного удлинения первой лесы ко второй: $\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2} = \frac{\frac{4F}{E \pi d_1^2}}{\frac{4F}{E \pi d_2^2}}$

Сократив одинаковые множители ($4F$, $E$, $\pi$), получим: $\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2} = \frac{d_2^2}{d_1^2} = (\frac{d_2}{d_1})^2$

Подставим числовые значения диаметров: $\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2} = (\frac{0,4 \text{ мм}}{0,2 \text{ мм}})^2 = 2^2 = 4$

Ответ: относительное удлинение рыболовной лесы диаметром 0,2 мм в 4 раза больше, чем лесы диаметром 0,4 мм.

614. К проволоке был подвешен груз. Затем согнули пополам и подвесили тот же груз. Сравнить абсолютное и относительное удлинения проволоки в обоих случаях.

Дано:

$L_0$ — начальная длина проволоки
$S$ — площадь поперечного сечения проволоки
$F$ — сила тяжести груза (приложенная сила)
$E$ — модуль Юнга материала проволоки

Случай 1 (одинарная проволока):
Начальная длина: $L_1 = L_0$
Площадь сечения: $S_1 = S$

Случай 2 (проволока, сложенная вдвое):
Начальная длина: $L_2 = L_0 / 2$
Площадь сечения: $S_2 = 2S$

Найти:

Сравнить абсолютные удлинения $\Delta L_1$ и $\Delta L_2$.
Сравнить относительные удлинения $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$.

Решение:

Абсолютное удлинение проволоки под действием силы определяется из закона Гука:

$\Delta L = \frac{F \cdot L}{E \cdot S}$

где $\Delta L$ — абсолютное удлинение, $L$ — начальная длина, $E$ — модуль Юнга, а $S$ — площадь поперечного сечения.

Относительное удлинение определяется как отношение абсолютного удлинения к начальной длине:

$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}$

Сравнение абсолютных удлинений

В первом случае, когда груз подвешен к одинарной проволоке, ее абсолютное удлинение $\Delta L_1$ равно:

$\Delta L_1 = \frac{F \cdot L_1}{E \cdot S_1} = \frac{F \cdot L_0}{E \cdot S}$

Во втором случае проволоку согнули пополам. Теперь ее длина стала в два раза меньше ($L_2 = L_0/2$), а площадь поперечного сечения, на которую распределяется нагрузка, стала в два раза больше ($S_2 = 2S$), так как груз держат две нити проволоки. Абсолютное удлинение $\Delta L_2$ в этом случае будет:

$\Delta L_2 = \frac{F \cdot L_2}{E \cdot S_2} = \frac{F \cdot (L_0/2)}{E \cdot (2S)} = \frac{1}{4} \frac{F \cdot L_0}{E \cdot S}$

Теперь сравним удлинения, найдя их отношение:

$\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{\frac{F \cdot L_0}{E \cdot S}}{\frac{1}{4} \frac{F \cdot L_0}{E \cdot S}} = 4$

Следовательно, абсолютное удлинение во втором случае в 4 раза меньше, чем в первом.

Ответ: Абсолютное удлинение проволоки, сложенной вдвое, в 4 раза меньше, чем у одинарной проволоки.

Сравнение относительных удлинений

Относительное удлинение в первом случае $\varepsilon_1$:

$\varepsilon_1 = \frac{\Delta L_1}{L_1} = \frac{\frac{F \cdot L_0}{E \cdot S}}{L_0} = \frac{F}{E \cdot S}$

Относительное удлинение во втором случае $\varepsilon_2$ рассчитывается относительно его начальной длины $L_2 = L_0/2$:

$\varepsilon_2 = \frac{\Delta L_2}{L_2} = \frac{\frac{1}{4} \frac{F \cdot L_0}{E \cdot S}}{L_0/2} = \frac{F \cdot L_0}{4 \cdot E \cdot S} \cdot \frac{2}{L_0} = \frac{1}{2} \frac{F}{E \cdot S}$

Теперь сравним относительные удлинения:

$\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2} = \frac{\frac{F}{E \cdot S}}{\frac{1}{2} \frac{F}{E \cdot S}} = 2$

Следовательно, относительное удлинение во втором случае в 2 раза меньше, чем в первом.

Ответ: Относительное удлинение проволоки, сложенной вдвое, в 2 раза меньше, чем у одинарной проволоки.

615. Во сколько раз изменится абсолютное удлинение проволоки, если, не меняя нагрузку, заменить проволоку другой — из того же материала, но имеющей вдвое большую длину и в 2 раза больший диаметр?

Дано:

$F_1 = F_2 = F$ (нагрузка не меняется)

$E_1 = E_2 = E$ (материал тот же)

$l_2 = 2l_1$ (длина вдвое больше)

$d_2 = 2d_1$ (диаметр в 2 раза больше)

Найти:

Отношение удлинений $\frac{\Delta l_2}{\Delta l_1}$

Решение:

Абсолютное удлинение проволоки $\Delta l$ при упругой деформации определяется законом Гука и вычисляется по формуле:

$\Delta l = \frac{F \cdot l}{S \cdot E}$

где $F$ – сила упругости (равная по модулю нагрузке), $l$ – начальная длина проволоки, $S$ – площадь поперечного сечения, $E$ – модуль Юнга (зависит от материала).

Площадь поперечного сечения проволоки, имеющей форму круга, связана с ее диаметром $d$ соотношением:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Запишем выражения для абсолютного удлинения первой ($\Delta l_1$) и второй ($\Delta l_2$) проволок.

Для первой проволоки:

$\Delta l_1 = \frac{F_1 \cdot l_1}{S_1 \cdot E_1} = \frac{F \cdot l_1}{S_1 \cdot E}$

Для второй проволоки:

$\Delta l_2 = \frac{F_2 \cdot l_2}{S_2 \cdot E_2} = \frac{F \cdot l_2}{S_2 \cdot E}$

Найдем отношение удлинений, чтобы определить, во сколько раз оно изменилось:

$\frac{\Delta l_2}{\Delta l_1} = \frac{\frac{F \cdot l_2}{S_2 \cdot E}}{\frac{F \cdot l_1}{S_1 \cdot E}} = \frac{F}{F} \cdot \frac{l_2}{l_1} \cdot \frac{S_1}{S_2} \cdot \frac{E}{E} = \frac{l_2}{l_1} \cdot \frac{S_1}{S_2}$

По условию, длина второй проволоки в 2 раза больше первой, то есть $\frac{l_2}{l_1} = 2$.

Теперь найдем отношение площадей. Площадь поперечного сечения пропорциональна квадрату диаметра ($S \propto d^2$). Так как диаметр второй проволоки в 2 раза больше, ее площадь будет:

$S_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{\pi (2d_1)^2}{4} = \frac{\pi \cdot 4d_1^2}{4} = 4 \cdot \frac{\pi d_1^2}{4} = 4S_1$

Следовательно, отношение площадей $\frac{S_1}{S_2} = \frac{S_1}{4S_1} = \frac{1}{4}$.

Подставим полученные отношения в формулу:

$\frac{\Delta l_2}{\Delta l_1} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Это означает, что удлинение второй проволоки составляет половину от удлинения первой, то есть оно уменьшилось в 2 раза.

Ответ: абсолютное удлинение проволоки уменьшится в 2 раза.

616. Диаметр капроновой рыболовной лесы 0,12 мм, а разрывная нагрузка 7,5 Н. Найти предел прочности на разрыв данного сорта капрона.

Дано:

$d = 0,12 \text{ мм} = 1,2 \cdot 10^{-4} \text{ м}$
$F = 7,5 \text{ Н}$

Найти:

$\sigma_{пр}$

Решение:

Предел прочности на разрыв, обозначаемый $\sigma_{пр}$, — это максимальное напряжение, которое материал может выдержать до разрушения. Он рассчитывается по формуле: $$ \sigma_{пр} = \frac{F}{S} $$ где $F$ — разрывная нагрузка (сила), а $S$ — площадь поперечного сечения материала.

Поскольку рыболовная леса имеет круглое поперечное сечение, её площадь $S$ вычисляется по формуле площади круга через диаметр $d$: $$ S = \frac{\pi d^2}{4} $$

Подставим это выражение для площади в формулу предела прочности: $$ \sigma_{пр} = \frac{F}{\frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4F}{\pi d^2} $$

Теперь подставим известные числовые значения в итоговую формулу и произведем расчет: $$ \sigma_{пр} = \frac{4 \cdot 7,5 \text{ Н}}{\pi \cdot (1,2 \cdot 10^{-4} \text{ м})^2} = \frac{30 \text{ Н}}{\pi \cdot 1,44 \cdot 10^{-8} \text{ м}^2} $$

Используя значение $\pi \approx 3,14159$: $$ \sigma_{пр} \approx \frac{30 \text{ Н}}{4,5239 \cdot 10^{-8} \text{ м}^2} \approx 6,631 \cdot 10^8 \text{ Па} $$

Округлим полученное значение с учетом точности исходных данных (две значащие цифры). Результат также можно выразить в мегапаскалях (МПа), где $1 \text{ МПа} = 10^6 \text{ Па}$. $$ \sigma_{пр} \approx 6,6 \cdot 10^8 \text{ Па} = 660 \text{ МПа} $$

Ответ: $6,6 \cdot 10^8 \text{ Па}$ или $660 \text{ МПа}$.

617. Из скольких стальных проволок диаметром 2 мм должен состоять трос, рассчитанный на подъём груза массой 2 т?

Дано:

Диаметр одной проволоки, $d = 2 \text{ мм}$

Масса груза, $m = 2 \text{ т}$

Материал: сталь

Перевод в систему СИ:

$d = 2 \times 10^{-3} \text{ м}$

$m = 2 \times 10^3 \text{ кг}$

Найти:

Количество проволок, $N$

Решение:

Для решения задачи необходимо знать предел прочности стали на разрыв. Это табличная величина, которая зависит от марки стали. Для расчетов примем среднее значение для стальной проволоки $\sigma_p = 500 \text{ МПа} = 5 \times 10^8 \text{ Па}$. Также примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

1. Найдем силу тяжести $F$, с которой груз действует на трос. Эта сила равна весу груза.

$F = m \cdot g$

$F = 2 \times 10^3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 20000 \text{ Н} = 2 \times 10^4 \text{ Н}$

2. Рассчитаем площадь поперечного сечения $A_1$ одной стальной проволоки. Радиус проволоки $r = d/2 = 1 \text{ мм} = 10^{-3} \text{ м}$.

$A_1 = \pi r^2 = \pi (10^{-3} \text{ м})^2 = \pi \times 10^{-6} \text{ м}^2$

3. Трос должен выдерживать силу $F$. Напряжение $\sigma$ в материале троса равно отношению силы к общей площади поперечного сечения всех проволок $A_{общ}$. Это напряжение не должно превышать предел прочности $\sigma_p$.

$\sigma = \frac{F}{A_{общ}} \le \sigma_p$

Отсюда найдем минимально необходимую общую площадь сечения троса:

$A_{общ} = \frac{F}{\sigma_p}$

$A_{общ} = \frac{2 \times 10^4 \text{ Н}}{5 \times 10^8 \text{ Па}} = 0.4 \times 10^{-4} \text{ м}^2 = 4 \times 10^{-5} \text{ м}^2$

4. Общая площадь сечения $A_{общ}$ складывается из площадей сечения $N$ отдельных проволок.

$A_{общ} = N \cdot A_1$

Выразим и найдем количество проволок $N$:

$N = \frac{A_{общ}}{A_1}$

$N = \frac{4 \times 10^{-5} \text{ м}^2}{\pi \times 10^{-6} \text{ м}^2} = \frac{40}{\pi}$

Используя значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$N \approx \frac{40}{3.14159} \approx 12.73$

Так как количество проволок может быть только целым числом, и трос должен надежно выдерживать груз, округляем полученное значение до ближайшего большего целого числа.

$N = 13$

Стоит отметить, что в инженерной практике при проектировании грузоподъемных механизмов всегда вводится коэффициент запаса прочности (для стальных тросов он обычно составляет 5-6), чтобы обеспечить безопасную эксплуатацию. В данном решении расчет произведен на предельно допустимую нагрузку без учета запаса прочности, как это обычно делается в учебных задачах.

Ответ: трос должен состоять не менее чем из 13 стальных проволок.

618. При какой наименьшей длине $h$ свинцовая проволока, подвешенная за один конец, разорвётся от собственного веса?

Дано:

Материал проволоки — свинец.
Для решения задачи необходимы справочные данные:
Предел прочности свинца на разрыв: $\sigma_{max} \approx 12 \cdot 10^6 \text{ Па}$ (12 МПа).
Плотность свинца: $\rho \approx 11300 \text{ кг/м}^3$.
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Найти:

Наименьшую длину проволоки $h$, при которой она разорвется под собственным весом.

Решение:

Свинцовая проволока, подвешенная за один конец, испытывает растяжение под действием собственного веса. Наибольшая сила натяжения и, следовательно, наибольшее механическое напряжение возникает в самом верхнем поперечном сечении проволоки, так как оно удерживает всю массу проволоки.

Проволока разорвется, когда механическое напряжение $\sigma$ в этом сечении достигнет предела прочности свинца $\sigma_{max}$. Условие разрыва:

$\sigma = \sigma_{max}$

Механическое напряжение $\sigma$ определяется как отношение силы $F$, действующей на поперечное сечение, к площади этого сечения $S$:

$\sigma = \frac{F}{S}$

В данном случае сила $F$ равна весу $P$ всей проволоки:

$F = P = m \cdot g$

где $m$ — масса проволоки, а $g$ — ускорение свободного падения.

Массу проволоки можно выразить через её плотность $\rho$ и объём $V$:

$m = \rho \cdot V$

Объём проволоки длиной $h$ и с площадью поперечного сечения $S$ равен:

$V = h \cdot S$

Теперь объединим эти формулы. Подставим выражение для объёма в формулу для массы, а затем массу в формулу для силы:

$m = \rho \cdot h \cdot S$

$F = \rho \cdot h \cdot S \cdot g$

Подставим полученное выражение для силы $F$ в формулу для напряжения $\sigma$:

$\sigma = \frac{\rho \cdot h \cdot S \cdot g}{S}$

Как видно из формулы, площадь поперечного сечения $S$ сокращается. Это означает, что длина, при которой проволока рвется, не зависит от её толщины.

$\sigma = \rho \cdot g \cdot h$

Приравняем это напряжение к пределу прочности, чтобы найти наименьшую длину $h$, при которой произойдет разрыв:

$\rho \cdot g \cdot h = \sigma_{max}$

Выразим из этого уравнения искомую длину $h$:

$h = \frac{\sigma_{max}}{\rho \cdot g}$

Подставим числовые значения из справочных данных:

$h = \frac{12 \cdot 10^6 \text{ Па}}{11300 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} \approx \frac{12000000}{110740} \text{ м} \approx 108.36 \text{ м}$

Округлив, получаем, что наименьшая длина свинцовой проволоки, при которой она разорвется под собственным весом, составляет примерно 108 метров.

Ответ: $h \approx 108 \text{ м}$.

619. Проволока с висящим на ней грузом массой $m_1$ имеет длину $l_1$, а при увеличении массы груза до $m_2$ длина становится $l_2$. Найти длину проволоки $l_0$ без нагрузки.

Дано:

Масса первого груза: $m_1$

Длина проволоки с первым грузом: $l_1$

Масса второго груза: $m_2$

Длина проволоки со вторым грузом: $l_2$

Найти:

Начальную длину проволоки без нагрузки: $l_0$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом Гука, который гласит, что удлинение упругого тела прямо пропорционально приложенной к нему силе. В данном случае силой является вес груза, а удлинение — это разница между длиной проволоки под нагрузкой и её начальной длиной.

Запишем закон Гука в виде: $F = k \cdot \Delta l$, где $F$ — сила упругости, равная по модулю весу груза $P = mg$, $k$ — коэффициент жесткости проволоки, а $\Delta l$ — удлинение проволоки.

Рассмотрим первый случай, когда на проволоке висит груз массой $m_1$.

Сила, растягивающая проволоку: $F_1 = m_1 g$.

Удлинение проволоки: $\Delta l_1 = l_1 - l_0$.

Тогда по закону Гука: $m_1 g = k(l_1 - l_0)$. (1)

Рассмотрим второй случай, когда на проволоке висит груз массой $m_2$.

Сила, растягивающая проволоку: $F_2 = m_2 g$.

Удлинение проволоки: $\Delta l_2 = l_2 - l_0$.

Тогда по закону Гука: $m_2 g = k(l_2 - l_0)$. (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $k$ и $l_0$. Выразим коэффициент жесткости $k$ из каждого уравнения:

Из уравнения (1): $k = \frac{m_1 g}{l_1 - l_0}$

Из уравнения (2): $k = \frac{m_2 g}{l_2 - l_0}$

Поскольку коэффициент жесткости проволоки $k$ в обоих случаях одинаков, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$\frac{m_1 g}{l_1 - l_0} = \frac{m_2 g}{l_2 - l_0}$

Сократим на $g$ (ускорение свободного падения):

$\frac{m_1}{l_1 - l_0} = \frac{m_2}{l_2 - l_0}$

Теперь решим это уравнение относительно $l_0$. Используем свойство пропорции:

$m_1(l_2 - l_0) = m_2(l_1 - l_0)$

Раскроем скобки:

$m_1 l_2 - m_1 l_0 = m_2 l_1 - m_2 l_0$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $l_0$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$m_2 l_0 - m_1 l_0 = m_2 l_1 - m_1 l_2$

Вынесем $l_0$ за скобки:

$l_0(m_2 - m_1) = m_2 l_1 - m_1 l_2$

Наконец, выразим искомую длину $l_0$:

$l_0 = \frac{m_2 l_1 - m_1 l_2}{m_2 - m_1}$

Ответ: $l_0 = \frac{m_2 l_1 - m_1 l_2}{m_2 - m_1}$.