Номер 618, страница 80 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

618. При какой наименьшей длине $h$ свинцовая проволока, подвешенная за один конец, разорвётся от собственного веса?

Дано:

Материал проволоки — свинец.
Для решения задачи необходимы справочные данные:
Предел прочности свинца на разрыв: $\sigma_{max} \approx 12 \cdot 10^6 \text{ Па}$ (12 МПа).
Плотность свинца: $\rho \approx 11300 \text{ кг/м}^3$.
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Найти:

Наименьшую длину проволоки $h$, при которой она разорвется под собственным весом.

Решение:

Свинцовая проволока, подвешенная за один конец, испытывает растяжение под действием собственного веса. Наибольшая сила натяжения и, следовательно, наибольшее механическое напряжение возникает в самом верхнем поперечном сечении проволоки, так как оно удерживает всю массу проволоки.

Проволока разорвется, когда механическое напряжение $\sigma$ в этом сечении достигнет предела прочности свинца $\sigma_{max}$. Условие разрыва:

$\sigma = \sigma_{max}$

Механическое напряжение $\sigma$ определяется как отношение силы $F$, действующей на поперечное сечение, к площади этого сечения $S$:

$\sigma = \frac{F}{S}$

В данном случае сила $F$ равна весу $P$ всей проволоки:

$F = P = m \cdot g$

где $m$ — масса проволоки, а $g$ — ускорение свободного падения.

Массу проволоки можно выразить через её плотность $\rho$ и объём $V$:

$m = \rho \cdot V$

Объём проволоки длиной $h$ и с площадью поперечного сечения $S$ равен:

$V = h \cdot S$

Теперь объединим эти формулы. Подставим выражение для объёма в формулу для массы, а затем массу в формулу для силы:

$m = \rho \cdot h \cdot S$

$F = \rho \cdot h \cdot S \cdot g$

Подставим полученное выражение для силы $F$ в формулу для напряжения $\sigma$:

$\sigma = \frac{\rho \cdot h \cdot S \cdot g}{S}$

Как видно из формулы, площадь поперечного сечения $S$ сокращается. Это означает, что длина, при которой проволока рвется, не зависит от её толщины.

$\sigma = \rho \cdot g \cdot h$

Приравняем это напряжение к пределу прочности, чтобы найти наименьшую длину $h$, при которой произойдет разрыв:

$\rho \cdot g \cdot h = \sigma_{max}$

Выразим из этого уравнения искомую длину $h$:

$h = \frac{\sigma_{max}}{\rho \cdot g}$

Подставим числовые значения из справочных данных:

$h = \frac{12 \cdot 10^6 \text{ Па}}{11300 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} \approx \frac{12000000}{110740} \text{ м} \approx 108.36 \text{ м}$

Округлив, получаем, что наименьшая длина свинцовой проволоки, при которой она разорвется под собственным весом, составляет примерно 108 метров.

Ответ: $h \approx 108 \text{ м}$.