Номер 619, страница 80 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

619. Проволока с висящим на ней грузом массой $m_1$ имеет длину $l_1$, а при увеличении массы груза до $m_2$ длина становится $l_2$. Найти длину проволоки $l_0$ без нагрузки.

Дано:

Масса первого груза: $m_1$

Длина проволоки с первым грузом: $l_1$

Масса второго груза: $m_2$

Длина проволоки со вторым грузом: $l_2$

Найти:

Начальную длину проволоки без нагрузки: $l_0$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом Гука, который гласит, что удлинение упругого тела прямо пропорционально приложенной к нему силе. В данном случае силой является вес груза, а удлинение — это разница между длиной проволоки под нагрузкой и её начальной длиной.

Запишем закон Гука в виде: $F = k \cdot \Delta l$, где $F$ — сила упругости, равная по модулю весу груза $P = mg$, $k$ — коэффициент жесткости проволоки, а $\Delta l$ — удлинение проволоки.

Рассмотрим первый случай, когда на проволоке висит груз массой $m_1$.

Сила, растягивающая проволоку: $F_1 = m_1 g$.

Удлинение проволоки: $\Delta l_1 = l_1 - l_0$.

Тогда по закону Гука: $m_1 g = k(l_1 - l_0)$. (1)

Рассмотрим второй случай, когда на проволоке висит груз массой $m_2$.

Сила, растягивающая проволоку: $F_2 = m_2 g$.

Удлинение проволоки: $\Delta l_2 = l_2 - l_0$.

Тогда по закону Гука: $m_2 g = k(l_2 - l_0)$. (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $k$ и $l_0$. Выразим коэффициент жесткости $k$ из каждого уравнения:

Из уравнения (1): $k = \frac{m_1 g}{l_1 - l_0}$

Из уравнения (2): $k = \frac{m_2 g}{l_2 - l_0}$

Поскольку коэффициент жесткости проволоки $k$ в обоих случаях одинаков, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$\frac{m_1 g}{l_1 - l_0} = \frac{m_2 g}{l_2 - l_0}$

Сократим на $g$ (ускорение свободного падения):

$\frac{m_1}{l_1 - l_0} = \frac{m_2}{l_2 - l_0}$

Теперь решим это уравнение относительно $l_0$. Используем свойство пропорции:

$m_1(l_2 - l_0) = m_2(l_1 - l_0)$

Раскроем скобки:

$m_1 l_2 - m_1 l_0 = m_2 l_1 - m_2 l_0$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $l_0$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$m_2 l_0 - m_1 l_0 = m_2 l_1 - m_1 l_2$

Вынесем $l_0$ за скобки:

$l_0(m_2 - m_1) = m_2 l_1 - m_1 l_2$

Наконец, выразим искомую длину $l_0$:

$l_0 = \frac{m_2 l_1 - m_1 l_2}{m_2 - m_1}$

Ответ: $l_0 = \frac{m_2 l_1 - m_1 l_2}{m_2 - m_1}$.