Номер 617, страница 80 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

617. Из скольких стальных проволок диаметром 2 мм должен состоять трос, рассчитанный на подъём груза массой 2 т?

Дано:

Диаметр одной проволоки, $d = 2 \text{ мм}$

Масса груза, $m = 2 \text{ т}$

Материал: сталь

Перевод в систему СИ:

$d = 2 \times 10^{-3} \text{ м}$

$m = 2 \times 10^3 \text{ кг}$

Найти:

Количество проволок, $N$

Решение:

Для решения задачи необходимо знать предел прочности стали на разрыв. Это табличная величина, которая зависит от марки стали. Для расчетов примем среднее значение для стальной проволоки $\sigma_p = 500 \text{ МПа} = 5 \times 10^8 \text{ Па}$. Также примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

1. Найдем силу тяжести $F$, с которой груз действует на трос. Эта сила равна весу груза.

$F = m \cdot g$

$F = 2 \times 10^3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 20000 \text{ Н} = 2 \times 10^4 \text{ Н}$

2. Рассчитаем площадь поперечного сечения $A_1$ одной стальной проволоки. Радиус проволоки $r = d/2 = 1 \text{ мм} = 10^{-3} \text{ м}$.

$A_1 = \pi r^2 = \pi (10^{-3} \text{ м})^2 = \pi \times 10^{-6} \text{ м}^2$

3. Трос должен выдерживать силу $F$. Напряжение $\sigma$ в материале троса равно отношению силы к общей площади поперечного сечения всех проволок $A_{общ}$. Это напряжение не должно превышать предел прочности $\sigma_p$.

$\sigma = \frac{F}{A_{общ}} \le \sigma_p$

Отсюда найдем минимально необходимую общую площадь сечения троса:

$A_{общ} = \frac{F}{\sigma_p}$

$A_{общ} = \frac{2 \times 10^4 \text{ Н}}{5 \times 10^8 \text{ Па}} = 0.4 \times 10^{-4} \text{ м}^2 = 4 \times 10^{-5} \text{ м}^2$

4. Общая площадь сечения $A_{общ}$ складывается из площадей сечения $N$ отдельных проволок.

$A_{общ} = N \cdot A_1$

Выразим и найдем количество проволок $N$:

$N = \frac{A_{общ}}{A_1}$

$N = \frac{4 \times 10^{-5} \text{ м}^2}{\pi \times 10^{-6} \text{ м}^2} = \frac{40}{\pi}$

Используя значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$N \approx \frac{40}{3.14159} \approx 12.73$

Так как количество проволок может быть только целым числом, и трос должен надежно выдерживать груз, округляем полученное значение до ближайшего большего целого числа.

$N = 13$

Стоит отметить, что в инженерной практике при проектировании грузоподъемных механизмов всегда вводится коэффициент запаса прочности (для стальных тросов он обычно составляет 5-6), чтобы обеспечить безопасную эксплуатацию. В данном решении расчет произведен на предельно допустимую нагрузку без учета запаса прочности, как это обычно делается в учебных задачах.

Ответ: трос должен состоять не менее чем из 13 стальных проволок.