Номер 282, страница 42 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

282¹. На наклонной плоскости длиной 13 м и высотой 5 м лежит груз массой 26 кг. Коэффициент трения равен 0,5. Какую силу надо приложить к грузу вдоль плоскости, чтобы втащить груз; чтобы стащить груз?

Дано:

Длина наклонной плоскости, $l = 13$ м
Высота наклонной плоскости, $h = 5$ м
Масса груза, $m = 26$ кг
Коэффициент трения, $μ = 0,5$
Ускорение свободного падения, $g = 9,8$ м/с²

Найти:

$F_1$ — сила, чтобы втащить груз вверх.
$F_2$ — сила, чтобы стащить груз вниз.

Решение:

Для решения задачи выберем систему координат, в которой ось OX направлена вдоль наклонной плоскости вверх, а ось OY — перпендикулярно ей. На груз действуют следующие силы: сила тяжести ($mg$), сила реакции опоры ($N$), сила трения ($F_{тр}$) и приложенная сила ($F$).

Найдем синус и косинус угла наклона плоскости $\alpha$. Синус угла наклона: $sin(\alpha) = \frac{h}{l} = \frac{5}{13}$

Для нахождения косинуса найдем горизонтальное основание наклонной плоскости $b$ по теореме Пифагора: $b = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ м. Косинус угла наклона: $cos(\alpha) = \frac{b}{l} = \frac{12}{13}$

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Движение будем считать равномерным (с нулевым ускорением), поэтому равнодействующая сил равна нулю.

Проекция на ось OY: $N - mg \cdot cos(\alpha) = 0$ Отсюда сила реакции опоры: $N = mg \cdot cos(\alpha)$

Сила трения скольжения определяется по формуле: $F_{тр} = \mu \cdot N = \mu \cdot mg \cdot cos(\alpha)$

чтобы втащить груз

В этом случае приложенная сила $F_1$ направлена вверх вдоль наклонной плоскости. Сила трения $F_{тр}$ и проекция силы тяжести на ось OX ($mg \cdot sin(\alpha)$) направлены вниз. Уравнение сил в проекции на ось OX: $F_1 - F_{тр} - mg \cdot sin(\alpha) = 0$

Отсюда выражаем искомую силу $F_1$: $F_1 = F_{тр} + mg \cdot sin(\alpha) = \mu \cdot mg \cdot cos(\alpha) + mg \cdot sin(\alpha)$ $F_1 = mg \cdot (\mu \cdot cos(\alpha) + sin(\alpha))$

Подставим числовые значения: $F_1 = 26 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (0,5 \cdot \frac{12}{13} + \frac{5}{13})$ $F_1 = 254,8 \cdot (\frac{6}{13} + \frac{5}{13}) = 254,8 \cdot \frac{11}{13}$ $F_1 = \frac{26 \cdot 9,8 \cdot 11}{13} = 2 \cdot 9,8 \cdot 11 = 19,6 \cdot 11 = 215,6$ Н

Ответ: чтобы втащить груз, нужно приложить силу 215,6 Н.

чтобы стащить груз

Сначала проверим, не будет ли груз соскальзывать сам. Для этого сравним проекцию силы тяжести, направленную вниз ($mg \cdot sin(\alpha)$), с силой трения покоя ($F_{тр}$). $mg \cdot sin(\alpha) = 26 \cdot 9,8 \cdot \frac{5}{13} = 2 \cdot 9,8 \cdot 5 = 98$ Н. $F_{тр} = \mu \cdot mg \cdot cos(\alpha) = 0,5 \cdot 26 \cdot 9,8 \cdot \frac{12}{13} = 0,5 \cdot 2 \cdot 9,8 \cdot 12 = 117,6$ Н. Так как $mg \cdot sin(\alpha) < F_{тр}$ (98 Н < 117,6 Н), груз сам не соскользнет.

Чтобы стащить груз, нужно приложить силу $F_2$ вниз вдоль наклонной плоскости. В этом случае сила трения $F_{тр}$ будет направлена вверх, противодействуя движению. Уравнение сил в проекции на ось OX: $F_2 + mg \cdot sin(\alpha) - F_{тр} = 0$

Отсюда выражаем искомую силу $F_2$: $F_2 = F_{тр} - mg \cdot sin(\alpha) = \mu \cdot mg \cdot cos(\alpha) - mg \cdot sin(\alpha)$ $F_2 = mg \cdot (\mu \cdot cos(\alpha) - sin(\alpha))$

Подставим числовые значения: $F_2 = 26 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (0,5 \cdot \frac{12}{13} - \frac{5}{13})$ $F_2 = 254,8 \cdot (\frac{6}{13} - \frac{5}{13}) = 254,8 \cdot \frac{1}{13}$ $F_2 = \frac{26 \cdot 9,8 \cdot 1}{13} = 2 \cdot 9,8 = 19,6$ Н

Ответ: чтобы стащить груз, нужно приложить силу 19,6 Н.